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In matematica, un'operazione binaria definita su un insieme è commutativa se

per ogni coppia di elementi e in . Se questa proprietà non è valida per ogni coppia di elementi, l'operazione è quindi detta non commutativa.

Due elementi e commutano se . Quindi l'operazione è commutativa se e solo se due elementi di commutano sempre.

Indice

EsempiModifica

Operazioni commutativeModifica

I più comuni esempi di operazioni binarie commutative sono l'addizione ( ) e la moltiplicazione ( ), considerate sull'insieme di tutti i numeri reali, o solo sui numeri positivi, naturali o razionali, oppure estese ai numeri complessi; per esempio:

  (poiché entrambe le espressioni sono uguali a 9)
  (poiché entrambe le espressioni valgono 6)

Altre operazioni binarie commutative sono:

Operazioni non commutativeModifica

Tra le operazioni binarie non commutative tra numeri vi sono la sottrazione ( ), la divisione ( ) e l'elevamento a potenza ( ), definite su insiemi opportuni di numeri reali.

Anche la composizione di funzioni ( ) in molti contesti non è commutativa: ad esempio le funzioni reali   e   non commutano, in quanto

 
 

Un'altra importante operazione non commutativa è la moltiplicazione fra matrici quadrate. Ad esempio,

 
 

Strutture algebriche con operazioni commutativeModifica

Un gruppo è abeliano, o anche commutativo, se l'operazione che vi è definita è commutativa.

Un anello ha definite due operazioni, chiamate generalmente "somma" e "prodotto" in analogia con i numeri interi. L'operazione di "somma" è sempre commutativa, ma l'operazione "prodotto" no. Un anello è chiamato abeliano o commutativo se anche la moltiplicazione è commutativa.

Generalmente, le strutture algebriche abeliane sono molto più semplici delle analoghe non abeliane.

Tavola di composizioneModifica

Un'operazione è commutativa se e solo se la sua tavola di composizione è simmetrica. Per esempio le tavole di composizione delle operazioni minimo comune multiplo e massimo comun divisore per l'insieme dei numeri interi da 1 a 6 sono

  e  

Voci correlateModifica

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