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In geometria differenziale la curvatura scalare (o scalare di Ricci) è il più semplice invariante di curvatura di una varietà riemanniana. Ad ogni punto della varietà essa associa un numero reale determinato dalla geometria intrinseca della varietà intorno a quel punto. La curvatura scalare è definita a partire dal tensore di curvatura di Ricci, che è a sua volta definito a partire dal tensore di Riemann.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   una varietà riemanniana o varietà pseudo-riemanniana. La curvatura scalare è una funzione differenziabile che associa ad ogni punto di   un numero reale, definito contraendo i due indici del tensore di curvatura di Ricci nel modo seguente:

 

Il tensore di curvatura di Ricci è un tensore di tipo  , ovvero una forma bilineare. La curvatura scalare è la traccia di questa forma bilineare. Per calcolare la traccia è necessario fare uso del tensore metrico  , presente nella formula.

La curvatura scalare è un tensore di tipo  , ovvero una funzione.

ProprietàModifica

Simboli di ChristoffelModifica

In un sistema di coordinate, la curvatura scalare dipende dai simboli di Christoffel e dalle loro derivate parziali nel modo seguente:

 

VolumeModifica

La curvatura scalare può essere interpretata geometricamente come un numero che misura il modo in cui è distorto il volume intorno ad un punto.

Quando la curvatura scalare in un punto è positiva, il volume di una piccola palla centrata nel punto   della varietà riemanniana   ha volume minore di una palla dello stesso raggio nello spazio euclideo. D'altra parte, se la curvatura scalare è negativa, la palla ha volume maggiore. Da un punto di vista quantitativo, questa relazione può essere espressa come segue. Il rapporto fra i volumi di una palla di raggio   è dato da

 

La derivata seconda di questo rapporto, valutata in  , è esattamente

 

Analogamente, i bordi di queste palle sono delle  -sfere, le cui aree soddisfano la relazione seguente:

 

Oggetto riemannianoModifica

A differenza del tensore di Riemann e del tensore di Ricci, la curvatura scalare necessita fortemente del tensore metrico   per essere definita. Non esiste quindi una definizione di curvatura scalare nel contesto più ampio delle connessioni.

EsempiModifica

SuperficieModifica

In una superficie la curvatura scalare è pari alla curvatura gaussiana   moltiplicata per due:

 

SferaModifica

La curvatura scalare di una ipersfera   di raggio   è costante in ogni punto, ed è pari a

 

BibliografiaModifica

  • (EN) J.L. Synge e A. Schild, Tensor Calculus, first Dover Publications 1978 edition, 1949, ISBN 978-0-486-63612-2.
  • (EN) J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis: For Engineers and Applied Scientists, Longman, 1975, ISBN 0-582-44355-5.
  • (EN) D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 1988, ISBN 0-07-033484-6.
  • (EN) Manfredo Perdigao do Carmo, Riemannian Geometry, 1994.
  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley-Interscience, 1996 (Nuova edizione), ISBN 0-471-15733-3.

Voci correlateModifica

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