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Distribuzione esponenziale
Funzione di densità di probabilità
Probability density function
Funzione di ripartizione
Cumulative distribution function
Parametri
Supporto
Funzione di densità
Funzione di ripartizione
Valore atteso
Mediana
Moda
Varianza
Indice di asimmetria
Curtosi
Entropia
Funzione generatrice dei momenti
Funzione caratteristica

In teoria delle probabilità la distribuzione esponenziale è una distribuzione di probabilità continua che descrive la "durata di vita" di un fenomeno che non invecchia (ossia la distribuzione esponenziale è priva di memoria).

Un esempio è la durata di vita di una particella radioattiva prima di decadere oppure la durata della richiesta di un servizio; dunque essa è in relazione al tempo di attesa del primo successo, in fenomeni aleatori con distribuzione geometrica. La distribuzione esponenziale (o di Laplace) può dedursi anche come la distribuzione di probabilita' di una variabile aleatoria definita come somma dei quadrati di due variabili aleatorie normali standardizzate (ossia con valore atteso zero e varianza unitaria); dunque è banalmente riconducibile anche a un caso particolare di distribuzione del chi-quadro, essendo, quest'ultima, la distribuzione di probabilità della variabile aleatoria costruita come la somma dei quadrati di n variabili aleatorie indipendenti normali e standardizzate.

Indice

DefinizioneModifica

La distribuzione esponenziale  , con parametro  , ha funzione di densità di probabilità:

 

ProprietàModifica

Il parametro   dev'essere positivo affinché l'integrale della funzione di densità sui reali sia  

Assenza di memoriaModifica

Una variabile aleatoria   con distribuzione esponenziale di parametro   ha funzione di ripartizione

 

In particolare la formula   implica la mancanza di memoria:

 

Viceversa, se una distribuzione di probabilità continua sui numeri reali positivi è priva di memoria, ovvero rispetta   per ogni scelta di   e di   allora vale la relazione   per ogni   razionale positivo o persino, grazie alla continuità della funzione di ripartizione, per ogni   reale positivo; in particolare prendendo   si trova proprio

 

Fra le distribuzioni di probabilità discrete, invece, ogni distribuzione priva di memoria è una distribuzione geometrica.

CaratteristicheModifica

Una variabile aleatoria con distribuzione esponenziale di parametro   ha

  • valore atteso  ,
  • varianza  ,
  • funzione caratteristica  
  • funzione generatrice dei momenti  
  • indici di asimmetria e di curtosi   e  .
  • generici momenti centrali   dove   è il sub-fattoriale di  .

I suoi quantili si possono ricavare invertendo la funzione di ripartizione:

 
 ;

in particolare i suoi quartili (e la mediana) sono

 ,  ,  .

DistribuzioniModifica

Il minimo   tra   variabili aleatorie indipendenti con distribuzioni esponenziali di parametri   è ancora una variabile aleatoria con distribuzione esponenziale, di parametro  .

Il parallelo della distribuzione esponenziale, come distribuzione priva di memoria, tra le distribuzioni di probabilità discrete è la distribuzione geometrica. In particolare, se   segue la distribuzione esponenziale   allora per ogni   la variabile aleatoria   (parte intera) segue la distribuzione geometrica  :

 

La distribuzione di Poisson   descrive il numero di eventi successivi intercorsi in un intervallo di tempo, dove i tempi di attesa tra due eventi successivi sono indipendenti e regolati dalla distribuzione esponenziale di medesimo parametro  .

La distribuzione esponenziale   corrisponde alla distribuzione chi quadrato con due gradi di libertà,  .

La distribuzione di Laplace di parametri   governa la variabile aleatoria  , dove   sono due variabili aleatorie indipendenti con la medesima distribuzione esponenziale  .

La distribuzione Gamma generalizza la distribuzione esponenziale:   coincide con  . In particolare, la somma   di   variabili aleatorie indipendenti di medesima legge esponenziale con parametro   segue la distribuzione Gamma  . Inoltre nell'inferenza bayesiana se il parametro   di una distribuzione esponenziale segue, a priori di un'osservazione, una distribuzione Gamma, allora segue una distribuzione Gamma anche a posteriori.

ApplicazioniModifica

RadioattivitàModifica

Il tempo di decadimento di un isotopo radioattivo viene solitamente modellato in funzione della sua vita media tramite la distribuzione esponenziale  .

In questo quadro il parametro   è detto costante di decadimento; la speranza di vita è proprio  .

Con questo modello si possono ad esempio calcolare le probabilità che l'isotopo decada in meno della metà del tempo medio,

 ,

o in più del doppio di questo tempo

 .

Tramite la formula per i quantili si trova ad esempio che solo con probabilità di un ventesimo l'isotopo decadrà in più di

 .

Ciononostante un osservatore che non abbia ancora visto decadere l'isotopo dopo un tempo di   si ritrova nuovamente nelle condizioni iniziali, a causa dell'assenza di memoria; dovrà quindi aspettare mediamente un tempo   prima del decadimento.

In un campione con un numero di isotopi molto grande (come avviene solitamente), le probabilità di ogni singolo isotopo (indipendente dagli altri) si possono tradurre in percentuali del campione. Ad esempio, il tempo medio dopo il quale metà dei campioni decadono (emivita o tempo di dimezzamento) è dato dalla mediana  .

Voci correlateModifica

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Collegamenti esterniModifica

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