Dominio semplice

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I domini delle funzioni a più variabili possono presentare una forma di regolarità per cui è possibile delimitare la regione da intervalli e grafici di funzione. Si parla quindi di dominio semplice o normale rispetto alla variabile delimitabile da un intervallo. La normalità di un dominio è molto importante in molte definizione di integrale multiplo e della sua risoluzione tramite le formule di riduzione. Inoltre la presenza di un dominio regolare permette ulteriori teoremi e formule d'integrazione, come le formule di Gauss-Green, il teorema della divergenza e il teorema del rotore.

Domini normali nel pianoModifica

In   esistono due casi di normalità, rispetto agli assi:

Dominio normale all'asse x
Dominio normale all'asse y

Dominio normale rispetto all'asse xModifica

La regione è delimitata per l'asse x da due valori numerici e per l'asse y da due funzioni della variabile x continue nell'intervallo che la delimita:
 

Dominio normale rispetto all'asse yModifica

La regione è delimitata per l'asse y da due valori numerici e per l'asse x da due funzioni della variabile y continue nell'intervallo che la delimita:
 

Domini normali nello spazioModifica

 
Esempio di dominio normale in R3 (piano xy)

In   esistono sei tipi diversi di normalità, rispetto ai piani:

Dominio normale rispetto al piano (x,y)Modifica

  è normale al piano  

  • con   normale all'asse  
  • con   normale all'asse  

Dominio normale rispetto al piano (y,z)Modifica

  è normale al piano  

  • con   normale all'asse  
  • con   normale all'asse  

Dominio normale rispetto al piano (z,x)Modifica

  è normale al piano  

  • con   normale all'asse  
  • con   normale all'asse  

Nell'esempio in figura il dominio semplice è il cilindroide con "base"   e compreso tra le funzioni  e  :

 , con  

In generale in   il numero dei domini semplici è dato dalla relazione  , ovvero tutte le possibili combinazioni tra versori.

Dominio normale regolare e orientamento della frontieraModifica

Dominio normale regolareModifica

Un dominio normale regolare è per definizione un dominio normale la cui frontiera è unione di un numero finito di curve di classe  . Inoltre un dominio regolare   è sempre descrivibile come l'unione di un numero finito di domini normali regolari  , a due a due privi di punti interni in comune:

 

Orientamento della frontieraModifica

Sia   dominio regolare, convenzionalmente si dice che   è orientata positivamente se è rappresentata da un numero finito di curve regolari a tratti   tali che i versori normali   canonicamente associati puntano verso l'esterno. Pertanto la sua frontiera ammette versore tangente e versore normale in ogni suo punto, tranne, al più, un numero finito. Tale orientamento si indica con  .

Lemma sulla decomposizione dei normaliModifica

Siano   e   domini normali si ha che   esiste una decomposizione di   e di   del tipo   e  

  1.   ed   sono domini normali
  2.   e  
  3.   e  

dove   è il diametro del dominio.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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