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In matematica, le equazioni di Bessel, il cui nome è dovuto a Friedrich Wilhelm Bessel, sono un caso particolare dell'equazione ipergeometrica confluente, le cui soluzioni definiscono le armoniche cilindriche o funzioni di Bessel.

Indice

DefinizioneModifica

Si tratta di equazioni differenziali ordinarie del second'ordine lineari omogenee della forma:

 
 

dove si è utilizzata la notazione di Lagrange per le derivate totali per l'incognita  . Il numero   è detto l'ordine dell'equazione, mentre   e   assumono valori in  .

Esplicitando le derivate e dividendo per  :

 

che si può scrivere anche come:

 

Le soluzioni generali sono le armoniche cilindriche o funzioni di Bessel, e si suddividono in funzioni di Bessel del primo tipo (chiamate esse stesse "armoniche cilindriche" e indicate con  ) e funzioni di Bessel del secondo tipo (dette funzioni di Neumann o funzioni di Weber e indicate con  ). Un terzo tipo di soluzione, le funzioni di Bessel del terzo tipo o funzioni di Hankel   e  , sono una particolare combinazione lineare delle precedenti.

Se   non è intero una soluzione generale è data da:

 

con   e   costanti arbitrarie.

Per un ordine generico la soluzione può invece essere data nelle seguenti forme:

 

Per un dato ordine le funzioni  ,  ,   e   sono infatti mutuamente linearmente indipendenti.

Forma ridottaModifica

Sostituendo   si ottiene la forma ridotta della prima equazione di Bessel:

 

Sostituendo   in tale forma ridotta si giunge all'equazione di Whittaker.

BibliografiaModifica

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