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Estensione trascendente

In matematica, più in particolare nella teoria dei campi, un'estensione trascendente (o ampliamento trascendente) è un'estensione di campi che non è algebrica, ovvero un'estensione tale che nel campo esiste almeno un elemento α trascendente su ovvero che non è radice di alcun polinomio a coefficienti in

Un esempio tipico di estensione trascendente è , dove è il campo delle funzioni razionali a coefficienti in altri esempi sono le estensioni e .

Indipendenza algebrica e grado di trascendenzaModifica

Poiché un elemento   trascendente su   non è soluzione di alcun polinomio a coefficienti in   il grado dell'estensione   è infinito; di conseguenza, il grado di qualsiasi estensione trascendente è infinito, e questo strumento non può essere usato per studiarle. Al suo posto si introduce la nozione di grado di trascendenza, ottenuto sostituendo al concetto di indipendenza lineare quello di indipendenza algebrica: un insieme   si dice algebricamente indipendente su un campo   se non esiste alcun polinomio non nullo   in più variabili tale che   per elementi   in   Analogamente alla definizione di base in algebra lineare si ha la definizione di base di trascendenza di un ampliamento  : è un sottoinsieme   di   tale che   è algebricamente indipendente su   e   è algebrico su  

Questo parallelismo tra l'algebra lineare e le estensioni trascendenti non si limita alle definizioni, ma si estende anche a molte delle proprietà delle basi: ogni ampliamento trascendente possiede una base di trascendenza (anche se per dimostrarlo è necessario assumere il lemma di Zorn) e ogni insieme di elementi algebricamente indipendenti può essere completato ad una base di trascendenza aggiungendovi altri elementi. In particolare, due basi di trascendenza devono avere la stessa cardinalità: questa è detta grado di trascendenza di   su   ed è analoga alla nozione di dimensione di uno spazio vettoriale.

Dalla definizione segue immediatamente che se   ed   è algebrico su   allora   ed   hanno lo stesso grado di trascendenza su   in particolare, un'estensione algebrica ha grado di trascendenza  .

A differenza del grado dell'estensione, che è moltiplicativo (cioè se   allora  ), il grado di trascendenza è additivo, cioè il grado di trascendenza di   su   è uguale alla somma dei gradi di trascendenza di   su   e di   su  

Estensioni puramente trascendentiModifica

Un'estensione generata da elementi algebricamente indipendenti è detta puramente trascendente. Un ampliamento puramente trascendente di   è isomorfo ad un campo   di funzioni razionali, dove   indica un insieme di indeterminate indipendenti; il suo grado di trascendenza è dato dalla cardinalità di  , ovvero dal numero di indeterminate. Ad esempio, l'ampliamento   è puramente trascendente con grado di trascendenza  , e   ha grado  .

Non tutte le estensioni trascendenti   sono puramente trascendenti. Questo è vero nel caso in cui   sia un ampliamento intermedio tra   e   (teorema di Lüroth; in particolare   è un'estensione semplice di  ), ma non per più alti gradi di trascendenza; nel caso in cui  , il risultato è ancora valido se si suppone che   sia algebricamente chiuso e   è un ampliamento finito e separabile di  

BibliografiaModifica

  • Stefania Gabelli, Teoria delle Equazioni e Teoria di Galois, Milano, Springer, 2008, ISBN 978-88-470-0618-8.
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