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In matematica, e più precisamente in algebra, un omomorfismo di gruppi è un tipo di funzione fra gruppi che ne preserva le operazioni. Questo concetto identifica quindi quali sono le funzioni "interessanti" nella teoria dei gruppi.

Indice

DefinizioneModifica

Dati due gruppi   e  , una funzione   è un omomorfismo se

 

per ogni   e   appartenenti a  .

La funzione   è inoltre detta monomorfismo se è iniettiva, epimorfismo se è suriettiva e isomorfismo se è biiettiva.

L'insieme degli omomorfismi da   ad   si indica con  .

EsempiModifica

Dati due gruppi qualsiasi   e  , l'omomorfismo banale   è l'omomorfismo che assegna ad ogni elemento   di   l'elemento neutro   di  . L'identità   è un altro esempio immediato; allo stesso modo, se   è un sottogruppo di  , l'inclusione   è un omomorfismo.

Il determinante di una matrice quadrata a coefficienti in un campo è, grazie al teorema di Binet, un esempio di omomorfismo tra il gruppo delle matrici quadrate invertibili con l'operazione di prodotto tra matrici e il gruppo moltiplicativo degli elementi non nulli del campo.

Nel campo dell'analisi matematica, la funzione esponenziale è un omomorfismo tra i reali con l'addizione e i reali positivi con la moltiplicazione.

ProprietàModifica

  • Dalla definizione si deduce subito che   manda l'elemento neutro di   nell'elemento neutro di  . Si deduce inoltre che  . Di conseguenza, si può dire che   è "compatibile con la struttura di gruppo", perché preserva elementi neutri ed inversi.
  • Nel caso in cui   sia un gruppo abeliano, l'insieme   può essere munito in modo naturale di una struttura di gruppo con l'operazione di moltiplicazione così definita: dati due omomorfismi   e  , la loro composizione   è la funzione che manda   in  : si verifica che anche   è un omomorfismo. Se anche   è abeliano, inoltre, anche   è abeliano.
  • Il nucleo di   è definito come l'insieme di tutti gli elementi   di   tali che   è l'elemento neutro di  . Esso è un sottogruppo normale di  ; inoltre, ogni sottogruppo normale è il nucleo di un omomorfismo, ad esempio l'omomorfismo naturale (o proiezione sul quoziente)  .
  • L'immagine di   tramite   è un sottogruppo di  , non necessariamente normale.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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