Inverso di un numero complesso

L'inverso di un numero complesso $z=a+ib\neq 0$ è quel numero tale che moltiplicato per $z$ dà 1. Ovvero, indicando l'inverso con $z^{-1}$, è tale che:

$z\cdot z^{-1}=1$

Costruzione algebrica

Conoscendo la norma ed il coniugato di $z$ è possibile calcolare $z^{-1}$ attraverso la formula:

$z^{-1}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}$

Ovvero, se $z=a+ib$ otteniamo

$z^{-1}={\frac {a-ib}{a^{2}+b^{2}}}$

Nel caso di un numero reale $a=a+i0$ si ottiene banalmente:

$a^{-1}={\frac {a}{a^{2}}}={\frac {1}{a}}$

Costruzione geometrica

Fissato il punto $z$ sul piano di Argand-Gauss è possibile costruire il punto $z^{-1}$ usando alcuni teoremi della geometria euclidea.

Primo metodo

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso $z$ e si congiunga tale punto con l'origine $O$.

Si tracci la retta simmetrica alla retta ${\overline {Oz}}$ rispetto all'asse reale.

Si disegni la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 e si indichi con $A$ il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta ${\overline {Oz}}$.

Si congiunga $z$ con il punto $C$$=\left(1,0\right)$ e si conduca da $A$ la parallela alla retta ${\overline {Cz}}$.

Indicato con $B$ il punto di intersezione di tale parallela con l'asse reale, si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio ${\overline {OB}}$.

Il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta simmetrica della retta ${\overline {Oz}}$ rispetto all'asse reale è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso ${\frac {1}{z}}$.

Infatti, per la similitudine dei triangoli $OAB$ e $OzC$, si ha:

$Oz:OA=OC:OB\quad \Rightarrow \quad \left|z\right|:1=1:OB\quad \Rightarrow \quad OB={\frac {1}{|z|}}$

D'altra parte, essendo $z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\left|z\right|^{2}}}$ un multiplo di ${\overline {z}}$ avrà il suo stesso argomento, ovvero starà nella retta ${\overline {O{\overline {z}}}}$

Quindi il numero costruito è proprio ${\frac {1}{z}}$ poiché ha modulo uguale ad ${\overline {OB}}={\frac {1}{\left|z\right|}}$ ed argomento opposto a quello di $z$.

Secondo metodo

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso $z$ e si tracci il complesso coniugato ${\overline {z}}$.

Si congiunga ${\overline {z}}$ con l'origine $O$.

Si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1 e si conduca da ${\overline {z}}$ una delle due tangenti a tale circonferenza e si indichi con $T$ il punto di tangenza.

Si congiunga tale punto con l'origine e si conduca, sempre da $T$ la perpendicolare alla retta ${\overline {O{\overline {z}}}}$.

Il piede $X$ di tale perpendicolare è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso ${\frac {1}{z}}$.

Infatti, per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo $OT{\overline {z}}$ si ha:

${\overline {O{\overline {z}}}}:{\overline {OT}}={\overline {OT}}:{\overline {OX}}$

ma, poiché $\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$, si ha

$\left|z\right|:1=1:{\overline {OX}}\quad \Rightarrow \quad {\overline {OX}}={\frac {1}{\left|z\right|}}$.

Il segmento ${\overline {OX}}$ è inoltre contenuto nella retta passante per l'origine e ${\overline {z}}$, quindi l'argomento è esattamente l'opposto di quello di $z$.

Voci correlate

• Complesso coniugato
• Numero complesso
• Piano complesso
• Primo teorema di Euclide