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L'inverso di un numero complesso è quel numero tale che moltiplicato per 1. Ovvero, indicando l'inverso con , è tale che:

Indice

Costruzione algebricaModifica

Conoscendo la norma ed il coniugato di   è possibile calcolare   attraverso la formula:

 

Ovvero, se   otteniamo

 

Nel caso di un numero reale   si ottiene banalmente:

 

Costruzione geometricaModifica

Fissato il punto   sul piano di Argand-Gauss è possibile costruire il punto   usando alcuni teoremi della geometria euclidea.

Primo metodoModifica

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso   e si congiunga tale punto con l'origine  .

Si tracci la retta simmetrica alla retta   rispetto all'asse reale.

Si disegni la circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 e si indichi con   il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta  .

Si congiunga   con il punto    e si conduca da   la parallela alla retta  .

Indicato con   il punto di intersezione di tale parallela con l'asse reale, si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio  .

Il punto di intersezione di tale circonferenza con la retta simmetrica della retta   rispetto all'asse reale è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso  .

Infatti, per la similitudine dei triangoli   e  , si ha:

 

D'altra parte, essendo   un multiplo di   avrà il suo stesso argomento, ovvero starà nella retta  

Quindi il numero costruito è proprio   poiché ha modulo uguale ad   ed argomento opposto a quello di  .

Secondo metodoModifica

Si fissi il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso   e si tracci il complesso coniugato  .

Si congiunga   con l'origine  .

Si disegni la circonferenza con centro nell'origine e raggio 1 e si conduca da   una delle due tangenti a tale circonferenza e si indichi con   il punto di tangenza.

Si congiunga tale punto con l'origine e si conduca, sempre da   la perpendicolare alla retta  .

Il piede   di tale perpendicolare è il punto del piano di Gauss che rappresenta il numero complesso  .

Infatti, per il primo teorema di Euclide applicato al triangolo rettangolo   si ha:

 

ma, poiché  , si ha

 .

Il segmento   è inoltre contenuto nella retta passante per l'origine e  , quindi l'argomento è esattamente l'opposto di quello di  .

Voci correlateModifica

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