Isomorfismo musicale

L'isomorfismo musicale è un isomorfismo tra uno spazio vettoriale reale e il suo spazio duale che è indotto da una forma bilineare simmetrica non degenere. Nell'ambito della geometria riemanniana, si tratta di un isomorfismo tra il fibrato tangente di una varietà riemanniana e il suo fibrato cotangente che è indotto dalla metrica

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio vettoriale reale di dimensione finita. È noto che   e il suo duale   sebbene abbiano la stessa dimensione non sono canonicamente isomorfi. Tuttavia fissata una forma bilineare simmetrica non degenere   su   si verifica che la mappa

 

è un isomorfismo di spazio vettoriali, che è detto isomorfismo musicale ed è indicato con il simbolo di bemolle   Il suo inverso, che è un isomorfismo   è invece denotato con il simbolo di diesis   Nel caso di una varietà riemanniana   la metrica   definisce in ogni punto   una forma bilineare simmetrica non degenere   e quindi degli isomorfismi

 

e

 

tra lo spazio tangente   e lo spazio cotangente   questi si estendono a isomorfismi tra il fibrato tangente e il fibrato cotangente di  .

Origine del nomeModifica

L'origine del nome isomorfismo "musicale" si comprende scrivendo i vettori in componenti. Sia   una base di   e sia   la corrispondente base duale di   cioè vale   dove   è la delta di Kronecker. Siano poi   le componenti della forma bilineare   rispetto alla base  , ossia   dove si è usata la convenzione di Einstein per le somme su indici ripetuti. Allora per un generico vettore   le componenti   di   cioè gli scalari che soddisfano   sono date da   Quest'ultima operazione "abbassa gli indici" analogamente a come il bemolle abbassa il tono delle note musicali. Similmente la relazione   dove   sono le componenti della matrice inversa della matrice di componenti   permette di "alzare gli indici", come il   alza il tono delle note musicali.

BibliografiaModifica

  • M. Abate, F. Tovena, Geometria Differenziale, Springer, 2011, ISBN 978-88-470-1919-5.
  • (EN) R.L. Bishop e S.I. Goldberg, Tensor Analysis on Manifolds, First Dover 1980, The Macmillan Company, 1968, ISBN 0-486-64039-6.
  • (EN) William Boothby, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Pure and Applied Mathematics, volume 120, 2ª ed., Orlando FL, Academic Press, 1986, ISBN 0-12-116053-X.
  • (EN) Pedro Martinez Gadea, Jaime Muänoz Masquâe, Analysis and Algebra on Differential Manifolds, Springer, 2009, ISBN 90-481-3564-8.
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica