Kučera ha cominciato la sua carriera professionistica nel 1992, raggiungendo il suo primo torneo del Grande Slam l'anno seguente, qualificandosi per il Roland Garros. Negli anni successivi continuò a migliorare la sua carriera, vincendo i suoi primi titoli a Rosmalen nel 1995 e a Ostrava nel 1996, anno in cui partecipò anche alle Olimpiadi di Atlanta.
Il suo anno migliore fu il 1998, in cui entrò nella top ten mondiale, raggiungendo l'8ª posizione in classifica e qualificandosi per l'ATP Tour World Championships di Hannover; nello stesso anno vinse i tornei di Sydney e di New Haven, raggiungendo le finali a Stoccarda e Vienna, e la semifinale degli Australian Open. In totale nel 1998 Kučera vinse 53 match, guadagnando più di un milione e quattrocentomila dollari.
A partire dal 1999, Kučera incominciò ad avere problemi di forma, anche a causa di un infortunio al braccio e al polso destro; solamente nel 2003 riuscì a ritornare tra i primi cinquanta giocatori del mondo, vincendo anche il torneo di Copenaghen.
Nel 2005 Kučera è stato uno dei giocatori che ha permesso alla squadra slovacca di raggiungere la finale della Coppa Davis, persa poi per 3 a 2 contro la Croazia. Dopo la finale, Kučera ha annunciato il suo ritiro.
Slovacchia
Coppa Davis
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Ordina Open, 's-Hertogenbosch
Anders Järryd
ATP Ostrava, Ostrava
Medibank International, Sydney
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Tim Henman
Pilot Pen International, New Haven
Goran Ivanišević
Swiss Indoors, Basilea
Copenaghen Open, Copenaghen
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Olivier Rochus
Alberto Berasategui
Mercedes Cup, Stoccarda (1)
Gustavo Kuerten
Bank Austria Tennis Trophy, Vienna
Chennai Open, Chennai
Paradorn Srichaphan
