Lemma di Jordan

In matematica, il lemma di Jordan (dal nome del suo ideatore, il matematico francese Camille Jordan) è usato per la risoluzione di integrali impropri tramite il calcolo di particolari integrali di linea.

Enunciato

Data una funzione $f(z)$ continua su $\mathbb {C}$, sia $\gamma _{R}$ un arco di circonferenza centrato nell'origine del piano di Gauss e raggio $R$ la cui ascissa curvilinea si estenda tra $\theta _{1}$ e $\theta _{2}$, tali che $0\leq \theta _{1}<\theta _{2}\leq \pi$. Se

$\lim _{R\rightarrow +\infty }\,\max _{\theta \in [\theta _{1};\theta _{2}]}|f(Re^{i\theta })|=0,$

allora

$\lim _{R\rightarrow +\infty }\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz=0,$

ove $\omega$ è un qualunque numero reale positivo.

Si osservi che tale arco di circonferenza giace nel semipiano superiore del piano di Gauss. In effetti è sufficiente che $\gamma _{R}$ sia omotopo ad un arco di circonferenza.

Dimostrazione

Essendo per ipotesi

$\max _{z\in \gamma _{R}}\left|f(z)\right|=M_{R}\Rightarrow \lim _{R\rightarrow +\infty }M_{R}=0$

allora parametrizzando $\gamma _{R}(t)=Re^{it}$

$0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|f(Re^{it})e^{\omega iRe^{it}}iR\right|dt\leq R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|f(Re^{it})\right|\cdot \left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt\leq M_{R}R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|dt$

in particolare

$\left|e^{i\omega Re^{it}}\right|=\left|e^{\omega Ri(\cos t+i\sin t)}\right|=\left|e^{\omega R(i\cos t-\sin t)}\right|\leq e^{-\omega R\sin t}$

quindi

$0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_{R}R\int _{\theta _{1}}^{\theta _{2}}e^{-\omega R\sin t}dt\leq M_{R}R\int _{0}^{\pi }e^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\omega R\sin t}dt$

la funzione $g(t)=\sin t,\,t\in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ è maggiorante della funzione $h(t)={\frac {2}{\pi }}t,\,t\in {\bigg [}0,{\frac {\pi }{2}}{\bigg ]}$ quindi

$0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq 2M_{R}R\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}e^{-\omega R{\frac {2}{\pi }}t}dt=-2M_{R}R\left[e^{-\omega R{\frac {2}{\pi }}t}\right]_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cdot {\frac {\pi }{2\omega R}}=-{\frac {\pi }{\omega }}M_{R}\left(e^{-\omega R}-1\right)$

passando al limite per $R\rightarrow +\infty$

$0\leq \lim _{R\rightarrow +\infty }\left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \lim _{R\rightarrow +\infty }-{\frac {\pi }{\omega }}M_{R}\left(e^{-\omega R}-1\right)=0$

ovvero l'asserto.

Osservazioni

Prima

Omettendo l'ipotesi che $\lim _{R\to +\infty }M_{R}=0$ resta dimostrata la seguente stima

${\bigg |}\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz{\bigg |}\leq {\frac {\pi }{\omega }}M_{R}(1-e^{-\omega R})\leq {\frac {\pi }{\omega }}M_{R}$

Seconda

L'ipotesi fondamentale del teorema è che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo $\left[0,\pi \right]$. Sembrerebbe essere escluso il caso con $\omega$ negativo, invece, il lemma resta valido con l'ipotesi che l'ascissa curvilinea dell'arco di circonferenza vari nell'intervallo $\left[\pi ,2\pi \right]$.

La dimostrazione è analoga fino alla maggiorazione di $-\sin t$ con $1$, in quanto, per la periodicità della funzione seno si ottiene la maggiorazione

$0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq M_{R}R\int _{\pi }^{2\pi }e^{-\omega R\sin t}dt=M_{R}R\int _{-\pi }^{0}e^{-\omega R\sin t}dt=2M_{R}R\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}e^{-\omega R\sin t}dt\leq 2M_{R}R\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{0}e^{\omega R}dt$

da cui la maggiorazione

$0\leq \left|\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{i\omega z}dz\right|\leq \pi e^{\omega R}M_{R}$

Terza

In certi integrali risulta impossibile abbinare la curva nel semipiano positivo con esponenziale ad esponente positivo, o viceversa. Un trucco molto utilizzato è il seguente.

Per esempio si potrebbe avere un integrale del genere:

$\int _{\gamma _{R}}f(z)\,e^{-i\omega z}\,dz$

con una curva nel semipiano positivo. Si opera così dividendo l'integrale in tre parti

$\int _{\gamma _{R}}=\int _{\Gamma }-\int _{{\tilde {\gamma }}_{R}}$

ove su $\Gamma$ si applica il teorema dei residui e tale curva è una circonferenza centrata nell'origine di raggio $R$.

Invece su ${\tilde {\gamma }}_{R}$ si applica il lemma di Jordan, in quanto la curva è nel semipiano negativo con esponenziale ad esponente negativo, quindi l'integrale esteso a ${\tilde {\gamma }}_{R}$ apporta un contributo nullo.

Quarta

Insieme al lemma del cerchio grande ed al lemma del cerchio piccolo, si riesce a risolvere la tipologia di integrale aventi singolarità isolate, sia su tutto $\mathbb {R}$ che su una curva chiusa e regolare omotopa ad un arco di circonferenza.

Voci correlate

• Teorema dei residui
• Analisi complessa
• Lemma del cerchio grande
• Lemma del cerchio piccolo
• Polo (analisi complessa)