Criterio di Sylvester

In algebra lineare, il criterio di Sylvester è un teorema che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice simmetrica o un prodotto scalare siano definiti positivi.

Stabilisce che una matrice hermitiana è definita positiva se e solo se tutti i minori principali di guida sono positivi.

Il criterioModifica

Sia   una matrice simmetrica reale di dimensione  . Per  , sia   il determinante (minore) della matrice ottenuta cancellando da   le ultime   righe e le ultime   colonne.

Il criterio di Sylvester asserisce che la matrice   è definita positiva se e solo se   per ogni  .[1]

Esiste un analogo criterio per testare le matrici definite negative: la matrice   è definita negativa se e solo se   per ogni  .

DimostrazioneModifica

La dimostrazione nel seguito è valida per matrici hermitiane non singolari con coefficienti in  , ovvero matrici simmetriche non singolari.

Una matrice simmetrica   è definita positiva se tutti i suoi autovalori   sono maggiori di zero ( ), mentre è detta definita non-negativa se  .

  • Teorema 1: Una matrice simmetrica   possiede autovalori non negativi se e solo se può essere fattorizzata come  , e tutti gli autovalori sono positivi se e solo se   è non singolare.
Per dimostrare l'implicazione diretta, si nota che se   è simmetrica allora per il teorema spettrale è diagonalizzabile: esiste una matrice ortogonale   tale che  , dove   è una matrice diagonale reale con sulla diagonale gli autovalori di   (che sono gli stessi di  ), e le colonne di   sono gli autovettori di  . Se   per ogni i allora   esiste, e si ha:
 
per  , dove   per ogni i se   è non singolare.
Per ottenere l'implicazione inversa, si nota che se   può essere fattorizzata come   allora tutti gli autovalori di   sono non negativi perché per ogni coppia   si ha:
 
  • Teorema 2 (decomposizione di Cholesky): La matrice simmetrica   possiede pivot positivi se e solo se può essere fattorizzata come  , dove   è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi. Si tratta della decomposizione di Cholesky di  , e   è il fattore di Cholesky di  .
Per dimostrare l'implicazione diretta, se   possiede pivot positivi (quindi è possibile una decomposizione LU) allora è possibile una fattorizzazione del tipo   in cui   è la matrice diagonale contenente i pivot  :
  x   x   x  
Per l'unicità della decomposizione   così effettuata, la simmetria di   produce il fatto che  , di conseguenza  . Ponendo  , dove  , la simmetria di   conduce alla fattorizzazione desiderata in quanto:
 
e   è una matrice triangolare superiore con gli elementi della diagonale positivi.
Per ottenere l'implicazione inversa, se   con   una matrice triangolare inferiore, allora la fattorizzazione è:
  x  
dove   è triangolare inferiore con una diagonale di tutti 1 e   è una matrice diagonale la cui diagonale è composta dagli elementi  . Di conseguenza,   è la fattorizzazione   di  , e così i pivot devono essere positivi perché sono la diagonale di  .
  • Teorema 3: Sia   la principale sottomatrice di guida di dimensione   di  . Se   posside una fattorizzazione LU allora   e il k-esimo pivot è   per  , mentre è   per  .

Combinando i teoremi 1, 2 e 3 si conclude che:

  • Se la matrice simmetrica   può essere fattorizzata come  , dove   è triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi positivi, allora tutti i pivot di   sono positivi per il teorema 2, e quindi tutti i minori principali di guida di   sono positivi per il teorema 3.
  • Se la matrice simmetrica non singolare   può essere fattorizzata come   allora la decomposizione QR   (legata al procedimento di Gram-Schmidt) di   produce  , dove   è una matrice ortogonale e   è triangolare superiore. Si nota che questo enunciato richiede la non singolarità di  .

Dai risultati ottenuti, in particolare dalle due precedenti osservazioni e dal teorema 1, segue che se una matrice reale simmetrica   è definita positiva allora possiede una fattorizzazione della forma  , dove   è non singolare. L'espressione   implica che   può essere fattorizzata come  , dove   è una matrice triangolare superiore la cui diagonale è composta da elementi maggiori di zero. In altre parole, una matrice simmetrica è definita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali di guida sono positivi. La validità della condizione necessaria e sufficiente è automatica in quanto è stata mostrata per ognuno dei teoremi enunciati.

EsempioModifica

La matrice:

 

è definita positiva, in quanto i determinanti:

 

sono tutti positivi.

NoteModifica

  1. ^ "Matematica Numerica", Quarteroni, Sacco, Saleri, edizioni Springer, seconda edizione, §1.12

BibliografiaModifica

  • (EN) Ayres, F. Jr. Schaum's Outline of Theory and Problems of Matrices. New York: Schaum, p. 134, 1962.
  • (EN) Golub, G. H. and Van Loan, C. F. "Positive Definite Systems." §4.2 in Matrix Computations, 3rd ed. Baltimore, MD: Johns Hopkins University Press, pp. 140–141, 1996.

Voci correlateModifica

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