Modulo libero

In matematica, un modulo libero è un modulo particolarmente simile ad uno spazio vettoriale; più precisamente, se è un anello, un -modulo è libero se ha una base, ovvero un insieme di elementi linearmente indipendenti che lo genera.

Nel linguaggio della teoria delle categorie, i moduli liberi sono gli oggetti liberi della categoria degli -moduli.

Definizione e basiModifica

Sia   un anello e   un modulo su  .   è libero se esiste un insieme   di elementi di   tali che:

  •   genera  : ogni elemento di   può essere scritto come combinazione lineare (finita) di elementi di  , ossia per ogni   in   esistono   ed   tali che  ;
  •   è linearmente indipendente: se esistono   ed   tali che  , allora tutti gli   sono uguali a 0.

Mentre ogni modulo possiede un insieme di generatori (ad esempio si può prendere   stesso), l'indipendenza lineare è una proprietà molto più stringente: esistono ad esempio moduli in cui nessun insieme non vuoto è linearmente indipendente, come lo  -modulo   delle classi di resto modulo  .

Se   è un campo, gli  -moduli sono gli spazi vettoriali, e ognuno di essi ha una base: di conseguenza tutti gli  -moduli sono liberi. Vale anche il viceversa: se tutti gli  -moduli sono liberi, e   è commutativo, allora   è un campo; lasciando cadere l'ipotesi di commutatività,   deve essere un corpo.

Nei moduli liberi, gli elementi della base si comportano come coordinate: segue infatti dall'indipendenza lineare che l'espressione di ogni elemento   come combinazione degli elementi della base è unica. Di conseguenza, un modulo libero è la somma diretta di copie di  .

Un particolare modulo libero è l'anello   stesso. Se   è unitario, ha   come base (è quindi anche ciclico).

Se   è libero, non ha un'unica base; in generale, neppure la cardinalità della base è univocamente determinata. Questa quantità è invariante però per tutti gli anelli commutativi[1] e per tutti gli anelli noetheriani;[2] in particolare si ottiene che la dimensione degli spazi vettoriali è ben definita. Essa viene detta rango del modulo libero.

Proprietà universaleModifica

Si può caratterizzare "il" modulo libero generato da un insieme   (unico a meno di isomorfismo unico) tramite una proprietà universale. Dato un insieme  , un  -modulo libero generato da   è un modulo   che contiene   e tale che, per ogni  -modulo   e per ogni morfismo di insiemi  , rimanga determinato uno e un solo omomorfismo di moduli   tale che  . L'omomorfismo   viene definito sfruttando il fatto, equivalente al fatto che   sia libero su  , che ogni elemento di   si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi di  . Se  , si pone  

CostruzioneModifica

A partire da un insieme arbitrario  , è possibile costruire un  -modulo libero che ha   come base: considerando tutte le combinazioni lineari formali  , per qualsiasi sottoinsieme finito   e qualsiasi  ; l'addizione e la moltiplicazione scalare vengono poi definiti termine a termine.

A partire da questo si può dimostrare che ogni modulo è quoziente di un modulo libero: dato infatti un insieme di generatori   per   (ad esempio   stesso), si può formare il modulo libero su  , e considerare il sottomodulo   generato dalle relazioni tra elementi di   (ad esempio, se  , allora   sarà contenuto in  ). Il quoziente   risulta isomorfo a  .

ProprietàModifica

Somme e prodotti di moduli liberi sono ancora liberi; lo stesso vale per il prodotto tensoriale di due moduli liberi.

Tutti i moduli liberi sono proiettivi e piatti; unito al fatto che ogni modulo è quoziente di un modulo libero, questo dimostra che ogni modulo ha una risoluzione proiettiva. Al contrario, è raro che i moduli liberi siano iniettivi: ad esempio, se   è commutativo e locale,   stesso (considerato come  -modulo) può essere iniettivo solo se la sua dimensione è 0.[3]

NoteModifica

  1. ^ (EN) V.E. Govorov, Rank of a module, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.
  2. ^ (EN) Paul Moritz Cohn, Introduction to ring theory, Springer, 2000, pp.169-171, ISBN 1-85233-206-9.
  3. ^ (EN) Charles A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge University Press, p. 107, ISBN 0-521-43500-5.

BibliografiaModifica

Collegamenti esterniModifica

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