Nucleo di Fredholm

In matematica, un nucleo di Fredholm è un tipo di nucleo integrale definito su uno spazio di Banach, ed associato ad uno o più operatori nucleari. Si tratta di uno degli elementi principale della teoria di Fredholm, parte della quale è stata sviluppata da Alexander Grothendieck e pubblicata nel 1955.

Definizione

Sia $B$ uno spazio di Banach e $B^{*}$ il suo duale, ovvero lo spazio dei funzionali lineari limitati definiti su $B$. Il prodotto tensoriale $B^{*}\otimes B$ è uno spazio completo con la norma:

$\Vert X\Vert _{\pi }=\inf \sum _{\{i\}}\Vert e_{i}^{*}\Vert \Vert e_{i}\Vert$

dove l'estremo inferiore è valutato considerando tutte le rappresentazioni finite:

$X=\sum _{\{i\}}e_{i}^{*}e_{i}\in B^{*}\otimes B$

Il completamento con tale norma è anche denotato come:

$B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B$

ed è chiamato prodotto tensoriale topologico proiettivo. Un nucleo di Fredholm è un elemento di tale spazio.

Proprietà

Ogni nucleo di Fredholm $X$ possiede una rappresentazione nella forma:

$X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}\otimes e_{i}$

con $e_{i}\in B$ e $e_{i}^{*}\in B^{*}$ tali che $\Vert e_{i}\Vert =\Vert e_{i}^{*}\Vert =1$ e:

$\sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert <\infty$

Ad ogni nucleo si può associare l'operatore lineare:

${\mathcal {L}}_{X}:B\to B$

la cui rappresentazione canonica è:

${\mathcal {L}}_{X}f=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(f)\otimes e_{i}$

Inoltre, si può associare una traccia, data da:

${\mbox{tr}}X=\sum _{\{i\}}\lambda _{i}e_{i}^{*}(e_{i})$

Nuclei p-sommabili

Un nucleo di Fredholm è detto p-sommabile se:

$\sum _{\{i\}}\vert \lambda _{i}\vert ^{p}<\infty$

ed è detto essere di ordine q se q è l'estremo inferiore di $0<p\leq 1$ per tutti i p che rendono il nucleo p-sommabile.

Operatori di classe traccia su spazi di Banach

Un operatore ${\mathcal {L}}:B\to B$ è detto operatore nucleare o di classe traccia se esiste un nucleo di Fredholm $X\in B^{*}{\widehat {\,\otimes \,}}_{\pi }B$ tale che ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{X}$. Un tale operatore è p-sommabile e di ordine q se lo è $X$. In generale, ci può essere più di un $X$ associato ad un operatore di classe traccia, sicché la traccia non è univocamente definita. Tuttavia, se $q\leq 2/3$ allora la traccia è unica, come stabilito dal teorema di Grothendieck.

Uno spazio di Fréchet in cui ogni funzione limitata a valori in uno spazio di Banach è di classe traccia viene detto spazio nucleare.

Teorema di Grothendieck

Se ${\mathcal {L}}:B\to B$ è un operatore di ordine $q\leq 2/3$ allora si può definire una traccia:

${\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}$

dove $\rho _{i}$ sono gli autovalori di ${\mathcal {L}}$. Inoltre, il determinante di Fredholm:

$\det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)$

è una funzione intera di z, e vale la formula:

$\det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)$

Inoltre, se ${\mathcal {L}}$ è parametrizzato da qualche numero complesso $w$, ovvero ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}$, e se la parametrizzazione è olomorfa su qualche dominio, allora:

$\det \left(1-z{\mathcal {L}}_{w}\right)$

è olomorfa nello stesso dominio.

Bibliografia

• A. Grothendieck, La théorie de Fredholm Bull. Amer. Math. Soc. , 84 (1956) pp. 319–384
• A. Grothendieck, Produits tensoriels topologiques et espaces nucleaires Mem. Amer. Math. Soc. , 5 (1955)

Voci correlate

• Autovettore e autovalore
• Classe traccia
• Determinante di Fredholm
• Equazione integrale di Fredholm
• Funzione di Green
• Operatore compatto
• Operatore di Fredholm
• Spettro (matematica)
• Teoremi di Fredholm
• Teoria di Fredholm

Collegamenti esterni

• (EN) B.V. Khvedelidze, Fredholm kernel, in Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society, 2002.