Omologia singolare

una costruzione che permette di associare ad uno spazio topologico un oggetto algebrico detto omologia

In topologia l'omologia singolare è una costruzione che permette di associare ad uno spazio topologico un oggetto algebrico detto omologia.

Esistono altre costruzioni che producono essenzialmente la stessa omologia, ad esempio l'omologia simpliciale e l'omologia cellulare. L'omologia singolare è la costruzione che funziona nella più ampia generalità: per la sua costruzione non è necessario che lo spazio topologico sia un complesso simpliciale o un complesso di celle.

DefinizioneModifica

Sia   uno spazio topologico. Come ogni omologia, l'omologia singolare è definita a partire da un complesso di catene

 

Il complesso di catene qui è costruito a partire dalla nozione di simplesso singolare.

Simplesso standardModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Simplesso.
 
Il simplesso standard di dimensione 2 è un triangolo nello spazio  . I suoi vertici sono i punti che definiscono la base canonica di  .

Il simplesso standard   è l'inviluppo convesso in   dei punti

 

che formano la base canonica di  . Per   il simplesso standard è rispettivamente un segmento, un triangolo, un tetraedro. I punti   sono i vertici del simplesso. Il simplesso   ha dimensione  .

Una faccia di dimensione   di   è l'inviluppo convesso di   vertici distinti

 

Tale faccia è canonicamente identificata con il simplesso standard  : il fatto che questa identificazione sia canonica è un punto essenziale della teoria, che dipende dal fatto che i vertici del simplesso standard sono ordinati. Se  , l'identificazione   è tale che

 

e si estende per combinazione convessa a tutta la faccia.

Se la dimensione non è specificata, per faccia di   si intende una faccia di dimensione  : queste giocano un ruolo importante nella costruzione dell'omologia singolare. Il simplesso   ha quindi   facce   opposte ai vertici  .

Simplesso singolareModifica

Sia   uno spazio topologico Un simplesso singolare è una mappa continua

 

dal simplesso standard in  . Anche qui   è la dimensione del simplesso singolare. Il bordo  -esimo   del simplesso singolare   è il simplesso singolare di dimensione   seguente:

 

definito restringendo   alla  -esima faccia di   (identificata canonicamente con  ).

Complesso di cateneModifica

Una catena è una combinazione lineare formale di simplessi singolari (tutti della stessa dimensione  ), a coefficienti interi

 

Il numero   di elementi è variabile (purché finito) e i coefficienti   sono numeri interi. Una catena non è una mappa: può essere interpretata solo astrattamente, come combinazione lineare formale di oggetti. Le catene possono essere sommate in modo naturale e formano un gruppo abeliano, indicato con  . In altre parole,   è il gruppo abeliano libero generato dall'insieme di tutti i simplessi singolari. Questo insieme è in generale molto grande (può avere cardinalità più che numerabile anche per spazi   molto semplici).

Per definire un complesso di catene è infine necessario introdurre una mappa di bordo

 

per ogni  . La mappa è definita su ogni simplesso singolare   di dimensione   nel modo seguente:

 

La mappa   è quindi estesa per linearità a tutto  .

OmologiaModifica

La costruzione descritta produce finalmente un complesso di catene

 

L'alternanza dei segni nella definizione di   ha un importante effetto: la composizione di due bordi successivi è sempre la mappa banale, cioè quella che manda ogni simplesso nello zero (lo zero in   è la combinazione lineare vuota). Infatti facendo due volte il bordo di un  -simplesso singolare si ottiene una catena in cui ogni  -sottosimplesso singolare compare due volte, ma con segni opposti. Vale quindi la proprietà

 

A questo punto l'omologia singolare è definita a partire da questo complesso con un procedimento standard, usato in tutte le teorie omologiche. Si definisce l' -esimo gruppo di omologia singolare   come il gruppo quoziente

 

BibliografiaModifica