Funzione localmente integrabile

In matematica, una funzione localmente integrabile è una funzione che è integrabile su ogni sottoinsieme compatto del dominio.

Detto un insieme aperto nello spazio euclideo e una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue, se l'integrale di Lebesgue:

esiste finito per ogni sottoinsieme compatto in , allora è detta localmente integrabile.

Le funzioni localmente integrabili giocano un ruolo importante nella teoria delle distribuzioni, e compaiono nel teorema di Radon-Nikodym.

Definizione alternativaModifica

Sia   un insieme aperto di   e   l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili   a supporto compatto definite su  . Una funzione   tale che:

 

è detta localmente integrabile. L'insieme di tutte queste funzioni è denotato con  .

Questa definizione trova le sue radici nell'approccio alla teoria della misura e dell'integrazione basato sul concetto di operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico, sviluppato dal gruppo Nicolas Bourbaki e altri, ed utilizzato spesso nell'ambito dell'analisi funzionale. In particolare la definizione di funzionali lineari tramite integrali di nucleo   è una pratica utilizzata nella teoria delle distribuzioni, dove in tal caso le funzioni   sono dette funzioni di test.

Si tratta di una definizione equivalente a quella standard, data in apertura, ovvero:

 

se e solo se:

 

DimostrazioneModifica

Infatti, sia  . Essendo una funzione misurabile limitata dalla sua norma uniforme   ed avendo un supporto   compatto per la definizione standard, si ha:

 

Per mostrare l'implicazione inversa, sia   un sottoinsieme compatto di  . Si vuole innanzitutto costruire una funzione di test   che maggiora la funzione indicatrice   di  . La distanza (insiemistica) tra   e la sua frontiera   è strettamente maggiore di zero, ovvero:

 

ed è quindi possibile scegliere un numero reale   tale per cui   (se   è vuoto si prende  ). Siano ora   e   gli intorni chiusi di   aventi rispettivamente raggio   e  . Essi sono compatti e soddisfano:

 

Grazie alla convoluzione   si definisce la funzione   come:

 

dove   è un mollificatore. Dal momento che   per tutti gli   si ha che  .

Se   è una funzione localmente integrabile rispetto alla seconda definizione si ha:

 

e poiché questo vale per ogni sottoinsieme compatto   di  ,   è localmente integrabile anche rispetto alla prima definizione.

GeneralizzazioneModifica

Sia   un aperto di   e   una funzione misurabile rispetto alla sigma-algebra di Lebesgue. Se per un dato   tale che   la funzione   soddisfa:

 

ossia appartiene allo spazio   per tutti i sottoinsiemi compatti di  , allora   è localmente  -integrabile. L'insieme di tutte le funzioni di questo tipo si indica con  .

ProprietàModifica

Completezza dello spazio metrico LplocModifica

Lo spazio   è uno spazio metrico completo per  . La sua topologia può essere generata dalla famiglia di metriche:

 

dove   è una famiglia di insiemi non vuoti tale che:

  •  , ovvero   è strettamente incluso in  .
  •  .
  • Le funzioni  , con  , sono una famiglia indicizzata di seminorme definita come:
 

Lp come sottospazio di Lploc per p ≥ 1Modifica

Ogni funzione  , dove   e   è un aperto di  , è localmente integrabile.

Per mostrare questo fatto, data la semplicità del caso   si assume nel seguito  . Considerando la funzione indicatrice   del sottoinsieme compatto  , si ha:

 

dove   è un numero positivo tale che   per un dato  , e   è la misura di Lebesgue di  . Allora, per la disuguaglianza di Hölder il prodotto   è una funzione integrabile, ovvero appartiene a   e:

 

Quindi  . Si nota che dal momento che vale:

 

il teorema si applica anche quando   appartiene solo allo spazio delle funzioni localmente  -integrabili, e pertanto si ha come corollario che ogni funzione  , dove  , è localmente integrabile, ovvero appartiene a  .

EsempiModifica

  • Ogni funzione integrabile (globalmente) in   è localmente integrabile, cioè:
 
  • Più generalmente, ogni funzione in  , con   è localmente integrabile:
 
  • La funzione costante a   definita sulla retta reale è localmente integrabile, ma non globalmente. Più generalmente, le funzioni continue sono localmente integrabili.
  • La funzione   per   e   non è localmente integrabile su  , perché la condizione cade negli intervalli contenenti l'origine, mentre la sua restrizione a  appartiene a  .[1]

NoteModifica

  1. ^ Gianni Gilardi, Analisi Tre, in McGraw-Hill Education, 2014ª ed., McGraw-Hill, p. 93. URL consultato il 14 gennaio 2018 (archiviato dall'url originale il 14 gennaio 2018).

BibliografiaModifica

  • (EN) S. Saks, Theory of the integral , Hafner (1952)
  • (EN) G.P. Tolstov, On the curvilinear and iterated integral Trudy Mat. Inst. Steklov. , 35 (1950) pp. 1–101

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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