Definizione alternativa
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Sia
Ω
{\displaystyle \Omega }
un insieme aperto di
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
e
C
c
∞
(
Ω
)
{\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )}
l'insieme delle funzioni infinitamente differenziabili
φ
:
Ω
→
C
{\displaystyle \varphi \colon \Omega \to \mathbb {C} }
a supporto compatto definite su
Ω
{\displaystyle \Omega }
. Una funzione
f
:
Ω
→
C
{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {C} }
tale che:
∫
Ω
|
f
φ
|
d
x
<
+
∞
,
∀
φ
∈
C
c
∞
(
Ω
)
{\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,\qquad \forall \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}
è detta localmente integrabile. L'insieme di tutte queste funzioni è denotato con
L
l
o
c
1
(
Ω
)
{\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}
.
Questa definizione trova le sue radici nell'approccio alla teoria della misura e dell'integrazione basato sul concetto di operatore lineare continuo in uno spazio vettoriale topologico , sviluppato dal gruppo Nicolas Bourbaki e altri, ed utilizzato spesso nell'ambito dell'analisi funzionale . In particolare la definizione di funzionali lineari tramite integrali di nucleo
f
{\displaystyle f}
è una pratica utilizzata nella teoria delle distribuzioni , dove in tal caso le funzioni
φ
{\displaystyle \varphi }
sono dette funzioni di test .
Si tratta di una definizione equivalente a quella standard, data in apertura, ossia:
∫
K
|
f
|
d
x
<
+
∞
,
∀
K
⊂
Ω
,
K
compatto
{\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall \,K\subset \Omega ,\,K{\text{ compatto}}}
se e solo se:
∫
Ω
|
f
φ
|
d
x
<
+
∞
,
∀
φ
∈
C
c
∞
(
Ω
)
.
{\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x<+\infty ,\quad \forall \,\varphi \in C_{\mathrm {c} }^{\infty }(\Omega ).}
Infatti, sia
φ
∈
C
c
∞
(
Ω
)
{\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )}
. Essendo una funzione misurabile limitata dalla sua norma uniforme
‖
φ
‖
{\displaystyle \|\varphi \|}
ed avendo un supporto
K
{\displaystyle K}
compatto per la definizione standard, si ha:
∫
Ω
|
f
φ
|
d
x
=
∫
K
|
f
|
|
φ
|
d
x
≤
‖
φ
‖
∞
∫
K
|
f
|
d
x
<
+
∞
.
{\displaystyle \int _{\Omega }|f\varphi |\,\mathrm {d} x=\int _{K}|f|\,|\varphi |\,\mathrm {d} x\leq \|\varphi \|_{\infty }\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x<+\infty .}
Per mostrare l'implicazione inversa, sia
K
{\displaystyle K}
un sottoinsieme compatto di
Ω
{\displaystyle \Omega }
. Si vuole innanzitutto costruire una funzione di test
φ
K
∈
C
c
∞
(
Ω
)
{\displaystyle \varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}
che maggiora la funzione indicatrice
χ
K
{\displaystyle \chi _{K}}
di
K
{\displaystyle K}
. La distanza (insiemistica) tra
K
{\displaystyle K}
e la sua frontiera
∂
K
{\displaystyle \partial K}
è strettamente maggiore di zero, ovvero:
Δ
:=
d
(
K
,
∂
Ω
)
>
0
{\displaystyle \Delta :=d(K,\partial \Omega )>0}
ed è quindi possibile scegliere un numero reale
δ
{\displaystyle \delta }
tale per cui
Δ
>
2
δ
>
0
{\displaystyle \Delta >2\delta >0}
(se
∂
K
{\displaystyle \partial K}
è vuoto si prende
Δ
=
∞
{\displaystyle \Delta =\infty }
). Siano ora
K
δ
{\displaystyle K_{\delta }}
e
K
2
δ
{\displaystyle K_{2\delta }}
gli intorni chiusi di
K
{\displaystyle K}
aventi rispettivamente raggio
δ
{\displaystyle \delta }
e
2
δ
{\displaystyle 2\delta }
. Essi sono compatti e soddisfano:
K
⊂
K
δ
⊂
K
2
δ
⊂
Ω
,
d
(
K
δ
,
∂
Ω
)
=
Δ
−
δ
>
δ
>
0.
{\displaystyle K\subset K_{\delta }\subset K_{2\delta }\subset \Omega ,\qquad d(K_{\delta },\partial \Omega )=\Delta -\delta >\delta >0.}
Grazie alla convoluzione
∗
{\displaystyle *}
si definisce la funzione
φ
K
∈
C
c
∞
(
Ω
)
{\displaystyle \varphi _{K}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}
come:
φ
K
(
x
)
=
χ
K
δ
∗
φ
δ
(
x
)
=
∫
R
n
χ
K
δ
(
y
)
φ
δ
(
x
−
y
)
d
y
,
{\displaystyle \varphi _{K}(x)={\chi _{K_{\delta }}\ast \varphi _{\delta }(x)}=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{K_{\delta }}(y)\,\varphi _{\delta }(x-y)\,\mathrm {d} y,}
dove
φ
δ
{\displaystyle \varphi _{\delta }}
è un mollificatore . Dal momento che
φ
K
(
x
)
=
1
{\displaystyle \varphi _{K}(x)=1}
per tutti gli
x
∈
K
{\displaystyle x\in K}
si ha che
χ
K
≤
φ
K
{\displaystyle \chi _{K}\leq \varphi _{K}}
.
Se
f
{\displaystyle f}
è una funzione localmente integrabile rispetto alla seconda definizione si ha:
∫
K
|
f
|
d
x
=
∫
Ω
|
f
|
χ
K
d
x
≤
∫
Ω
|
f
|
φ
K
d
x
<
+
∞
{\displaystyle \int _{K}|f|\,\mathrm {d} x=\int _{\Omega }|f|\chi _{K}\,\mathrm {d} x\leq \int _{\Omega }|f|\varphi _{K}\,\mathrm {d} x<+\infty }
e poiché questo vale per ogni sottoinsieme compatto
K
{\displaystyle K}
di
Ω
{\displaystyle \Omega }
,
f
{\displaystyle f}
è localmente integrabile anche rispetto alla prima definizione.
Generalizzazione
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Completezza dello spazio metrico Lp loc
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Lo spazio
L
l
o
c
p
{\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{p}}
è uno spazio metrico completo per
p
≥
1
{\displaystyle p\geq 1}
. La sua topologia può essere generata dalla famiglia di metriche:
d
(
u
,
v
)
=
∑
k
≥
1
1
2
k
‖
u
−
v
‖
p
,
ω
k
1
+
‖
u
−
v
‖
p
,
ω
k
,
u
,
v
∈
L
l
o
c
p
(
Ω
)
,
{\displaystyle d(u,v)=\sum _{k\geq 1}{\frac {1}{2^{k}}}{\frac {\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}{1+\Vert u-v\Vert _{p,\omega _{k}}}},\qquad u,v\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ),}
dove
{
ω
k
}
k
≥
1
{\displaystyle \{\omega _{k}\}_{k\geq 1}}
è una famiglia di insiemi non vuoti tale che:
ω
k
⊊
ω
k
+
1
{\displaystyle \omega _{k}\subsetneq \omega _{k+1}}
, ossia
ω
k
{\displaystyle \omega _{k}}
è strettamente incluso in
ω
k
+
1
{\displaystyle \omega _{k+1}}
.
⋃
k
ω
k
=
Ω
{\displaystyle \bigcup _{k}\omega _{k}=\Omega }
.
Le funzioni
‖
⋅
‖
p
,
ω
k
:
L
l
o
c
p
(
Ω
)
→
R
+
{\displaystyle \Vert \cdot \Vert _{p,\omega _{k}}\colon L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega )\to \mathbb {R} ^{+}}
, con
k
∈
N
{\displaystyle k\in \mathbb {N} }
, sono una famiglia indicizzata di seminorme definita come:
‖
u
‖
p
,
ω
k
=
∫
ω
k
|
u
|
p
d
x
,
∀
u
∈
L
l
o
c
p
(
Ω
)
.
{\displaystyle {\Vert u\Vert _{p,\omega _{k}}}=\int _{\omega _{k}}|u|^{p}\,\mathrm {d} x,\qquad \forall \,u\in L_{\mathrm {loc} }^{p}(\Omega ).}
Lp come sottospazio di Lp loc per p ≥ 1
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Ogni funzione
f
∈
L
p
{\displaystyle f\in L^{p}}
, dove
1
≤
p
≤
+
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }
e
Ω
{\displaystyle \Omega }
è un aperto di
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
, è localmente integrabile.
Per mostrare questo fatto, data la semplicità del caso
p
=
1
{\displaystyle p=1}
si assume nel seguito
1
<
p
≤
+
∞
{\displaystyle 1<p\leq +\infty }
. Considerando la funzione indicatrice
χ
k
{\displaystyle \chi _{k}}
del sottoinsieme compatto
K
⊂
Ω
{\displaystyle K\subset \Omega }
, si ha:
|
∫
Ω
|
χ
K
|
q
d
x
|
1
/
q
=
|
∫
K
d
x
|
1
/
q
=
|
μ
(
K
)
|
1
/
q
<
+
∞
,
{\displaystyle \left|{\int _{\Omega }|\chi _{K}|^{q}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=|\mu (K)|^{1/q}<+\infty ,}
dove
q
{\displaystyle q}
è un numero positivo tale che
1
/
p
+
1
/
q
=
1
{\displaystyle 1/p+1/q=1}
per un dato
1
≤
p
≤
+
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }
, e
μ
(
K
)
{\displaystyle \mu (K)}
è la misura di Lebesgue di
K
{\displaystyle K}
. Allora, per la disuguaglianza di Hölder il prodotto
f
χ
K
{\displaystyle f\chi _{K}}
è una funzione integrabile , ossia appartiene a
L
1
(
Ω
)
{\displaystyle L^{1}(\Omega )}
e:
∫
K
|
f
|
d
x
=
∫
Ω
|
f
χ
K
|
d
x
≤
|
∫
Ω
|
f
|
p
d
x
|
1
/
p
|
∫
K
d
x
|
1
/
q
=
‖
f
‖
p
|
μ
(
K
)
|
1
/
q
<
+
∞
.
{\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{\Omega }|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .}
Quindi
f
∈
L
l
o
c
1
(
Ω
)
{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )}
. Si nota che dal momento che vale:
∫
K
|
f
|
d
x
=
∫
Ω
|
f
χ
K
|
d
x
≤
|
∫
K
|
f
|
p
d
x
|
1
/
p
|
∫
K
d
x
|
1
/
q
=
‖
f
‖
p
|
μ
(
K
)
|
1
/
q
<
+
∞
.
{\displaystyle {\int _{K}|f|\,\mathrm {d} x}={\int _{\Omega }|f\chi _{K}|\,\mathrm {d} x}\leq \left|{\int _{K}|f|^{p}\,\mathrm {d} x}\right|^{1/p}\left|{\int _{K}\mathrm {d} x}\right|^{1/q}=\|f\|_{p}|\mu (K)|^{1/q}<+\infty .}
Il teorema si applica anche quando
f
{\displaystyle f}
appartiene solo allo spazio delle funzioni localmente
p
{\displaystyle p}
-integrabili, e pertanto si ha come corollario che ogni funzione
f
∈
L
l
o
c
p
{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{p}}
, dove
1
<
p
≤
+
∞
{\displaystyle 1<p\leq +\infty }
, è localmente integrabile, ovvero appartiene a
f
∈
L
l
o
c
1
{\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}}
.
Ogni funzione integrabile (globalmente) in
U
{\displaystyle U}
è localmente integrabile, cioè:
L
1
(
U
)
⊂
L
l
o
c
1
(
U
)
.
{\displaystyle L^{1}(U)\subset L_{\mathrm {loc} }^{1}(U).}
Più generalmente, ogni funzione in
L
p
(
U
)
{\displaystyle L^{p}(U)}
, con
1
≤
p
≤
+
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }
è localmente integrabile:
L
p
(
U
)
⊂
L
l
o
c
1
(
U
)
.
{\displaystyle L^{p}(U)\subset L_{\mathrm {loc} }^{1}(U).}
La funzione costante a
1
{\displaystyle 1}
definita sulla retta reale è localmente integrabile, ma non globalmente. Più generalmente, le funzioni continue sono localmente integrabili.
La funzione
f
(
x
)
=
1
/
x
{\displaystyle f(x)=1/x}
per
x
≠
0
{\displaystyle x\neq 0}
e
f
(
0
)
=
0
{\displaystyle f(0)=0}
non è localmente integrabile su
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
, perché la condizione cade negli intervalli contenenti l'origine, mentre la sua restrizione a
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
appartiene a
L
l
o
c
1
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle L_{\mathrm {loc} }^{1}(0,+\infty )}
.[1]
^ Gianni Gilardi, Analisi Tre , collana McGraw-Hill Education , 2014ª ed., McGraw-Hill, p. 93. URL consultato il 14 gennaio 2018 (archiviato dall'url originale il 14 gennaio 2018) .
(EN ) S. Saks, Theory of the integral , Hafner (1952)
(EN ) G.P. Tolstov, On the curvilinear and iterated integral Trudy Mat. Inst. Steklov. , 35 (1950) pp. 1–101
Collegamenti esterni
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