Funzione subarmonica

In matematica, i concetti di funzione subarmonica e funzione superarmonica identificano un'importante classe di funzioni utilizzate nello studio delle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa e nella teoria del potenziale.

Dati $G\subset \mathbb {R} ^{n}$ e una funzione semicontinua superiormente:

$\varphi \colon G\to {\mathbb {R} }\cup \{-\infty \}$

la funzione $\varphi$ è subarmonica se per ogni palla chiusa ${\overline {B(x,r)}}\subset G$ con centro in $x$ e raggio $r$, e per ogni funzione continua a valori reali $h$ definita su ${\overline {B(x,r)}}$ che è una funzione armonica in $B(x,r)$ e soddisfa $\varphi (y)\leq h(y)$ per ogni $y$ sulla frontiera $\partial B(x,r)$ di $B(x,r)$, allora quest'ultima disuguaglianza può essere estesa a tutta la palla:

$\varphi (y)\leq h(y)\qquad \forall y\in B(x,r)$

Una funzione $u$ è detta superarmonica se $-u$ è subarmonica.

Proprietà

• Una funzione è armonica se e solo se è sia subarmonica che superarmonica.
• Se $\phi \,$ è di classe $C^{2}$ su un aperto $G$ in ${\mathbb {R} }^{n}$, allora $\phi \,$ è subarmonica se e solo se si verifica $\Delta \phi \geq 0$ su $G$, dove $\Delta$ è l'operatore di Laplace.
• Il massimo di una funzione subarmonica non può essere raggiunto nei punti interni del suo dominio, a meno che non si tratti di una funzione costante, come stabilisce il principio del massimo. Il minimo, tuttavia, si può trovare anche all'interno del dominio.
• Le funzioni subarmoniche formano un cono convesso, ovvero una combinazione lineare di funzioni subarmoniche con coefficienti positivi è subarmonica.
• Il limite di una successione decrescente di funzioni subarmoniche è subarmonico (oppure identicamente uguale a $-\infty$).

Bibliografia

• (EN) John B. Conway, Functions of one complex variable, New York, Springer-Verlag, 1978, ISBN 0-387-90328-3.
• (EN) Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables, Providence, Rhode Island, AMS Chelsea Publishing, 1992, ISBN 0-8218-2724-3.
• (EN) Joseph Leo Doob, Classical Potential Theory and Its Probabilistic Counterpart, Berlin Heidelberg New York, Springer-Verlag, 1984, ISBN 3-540-41206-9.

• (EN) Marvin Rosenblum e James Rovnyak, Topics in Hardy classes and univalent functions, Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks, Basel, Birkhauser Verlag, 1994.

Voci correlate

• Funzione armonica
• Funzione semicontinua
• Insieme polare (teoria del potenziale)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione subarmonica, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Funzione subarmonica, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) subharmonic and superharmonic functions, in PlanetMath.