Funzione subarmonica

In matematica, i concetti di funzione subarmonica e funzione superarmonica identificano un'importante classe di funzioni utilizzate nello studio delle equazioni alle derivate parziali, in analisi complessa e nella teoria del potenziale.

Dati e una funzione semicontinua superiormente:

la funzione è subarmonica se per ogni palla chiusa con centro in e raggio , e per ogni funzione continua a valori reali definita su che è una funzione armonica in e soddisfa per ogni sulla frontiera di , allora quest'ultima disuguaglianza può essere estesa a tutta la palla:

Una funzione è detta superarmonica se è subarmonica.

ProprietàModifica

  • Una funzione è armonica se e solo se è sia subarmonica che superarmonica.
  • Se   è di classe   su un aperto   in  , allora   è subarmonica se e solo se si verifica   su  , dove   è l'operatore di Laplace.
  • Il massimo di una funzione subarmonica non può essere raggiunto nei punti interni del suo dominio, a meno che non si tratti di una funzione costante, come stabilisce il principio del massimo. Il minimo, tuttavia, si può trovare anche all'interno del dominio.
  • Le funzioni subarmoniche formano un cono convesso, ovvero una combinazione lineare di funzioni subarmoniche con coefficienti positivi è subarmonica.
  • Il limite di una successione decrescente di funzioni subarmoniche è subarmonico (oppure identicamente uguale a  ).

BibliografiaModifica

  • (EN) Marvin Rosenblum e James Rovnyak, Topics in Hardy classes and univalent functions, Birkhauser Advanced Texts: Basel Textbooks, Basel, Birkhauser Verlag, 1994.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

Controllo di autoritàLCCN (ENsh85052351 · BNF (FRcb12288254v (data)
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