Insieme perfetto
In matematica, e in particolare in topologia, un insieme perfetto è un insieme chiuso senza punti isolati e uno spazio perfetto è uno spazio topologico senza punti isolati. In questi spazi ogni punto può essere approssimato arbitrariamente bene da altri punti, cioè dato un punto e un intorno del punto esiste un altro punto nell'intorno.
In questo articolo ogni spazio che non è perfetto sarà detto imperfetto.
Esempi
modificaLa retta reale è uno spazio perfetto connesso. Gli spazi di Baire sono spazi perfetti totalmente sconnessi, e pertanto questo vale anche per lo spazio di Cantor .
Ogni insieme non vuoto ammette una topologia con la quale è imperfetto: la topologia discreta. Ogni insieme con più di un punto ammette una topologia con la quale è perfetto: la topologia banale.
Proprietà
modificaOgni sottoinsieme aperto di uno spazio perfetto è perfetto.
Ogni spazio perfetto non vuoto ha sottospazi che sono imperfetti con la topologia di sottospazio: i singoletti.
La proprietà di uno spazio topologico di essere perfetto è una proprietà locale: uno spazio è perfetto se e solo se ogni punto ammette una base di intorni tale che ogni intorno in tale base è perfetto nella topologia di sottospazio.
Sia una famiglia di spazi topologici. Come per ogni proprietà locale, l'unione disgiunta è perfetta se e solo se ogni è perfetto.
Il prodotto cartesiano di una famiglia è perfetto nella topologia prodotto se e solo se vale almeno una delle seguenti proprietà:
- almeno uno degli spazi è perfetto;
- ;
- è infinito l'insieme degli indici tali che ha almeno due punti.
L'immagine tramite una funzione continua e i quozienti di spazi perfetti non sono necessariamente perfetti. Ma l'immagine di uno spazio perfetto rispetto ad una funzione continua iniettiva è perfetta.
Un insieme perfetto contenuto in uno spazio metrico completo è non numerabile.
