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In matematica, la superficie di Veronese è una superficie algebrica in uno spazio proiettivo a dimensioni. Fu scoperta da Giuseppe Veronese (1854-1917), dal quale prende nome.

La superficie di Veronese ammette una immersione in uno spazio proiettivo a quattro dimensioni, costruito dalla proiezione di un punto generico dello spazio -dimensionale. La sua proiezione in uno spazio proiettivo tridimensionale è nota come superficie di Steiner.

A sua volta, la superficie di Veronese è l'unico caso di una varietà di Scorza-Severi di dimensione .

Indice

DefinizioneModifica

La mappa di Veronese è una funzione fra spazi proiettivi di dimensione   e  , definita nel modo seguente:

 
 

dove   denota le coordinate omogenee.

La superficie di Veronese è l'immagine della mappa di Veronese.

SottovarietàModifica

L'immagine di una varietà posta sotto una mappatura di Veronese è di nuovo una varietà; di più, ci si trova davanti ad un isomorfismo poiché esiste anche la mappatura inversa, ed è regolare. Più precisamente, le immagini di insiemi aperti in una topologia di Zariski sono ancora degli insiemi aperti. Questo serve a dimostrare che una varietà algebrica è l'intersezione di una varietà di Veronese e di uno spazio lineare, e che perciò ogni varietà algebrica è isomorfa ad un'intersezione di quadriche.

RegolaritàModifica

L'immagine dell'immersione di una superficie di Veronese, è una varietà proiettiva. L'immersione di una superficie di Veronese è un morfismo, cioè una varietà con proprietà determinate di regolarità nella geometria algebrica.

Se   è una varietà proiettiva, allora lo è anche  .

Mappa di Veronese di grado dModifica

La mappa di Veronese di grado   o varietà di Veronese generalizza l'idea di una mappatura di grado   in   variabili. In altre parole, la mappa di Veronese di grado   è la mappa

 

dove   è definito come:

 

dove   indica il coefficiente binomiale, e   indica il fattoriale crescente.

EsempiModifica

Se   si ha:

 

Se   si ha:

 

Curva razionale normaleModifica

Per  , la varietà di Veronese è nota come curva razionale normale, della quale sono famigliari gli esempi di grado minore:

  • per  , la mappa di Veronese è semplicemente l'identità lungo la retta proiettiva;
  • per   la varietà di Veronese è la comune parabola   nelle coordinate affini  
  • per   la varietà di Veronese è una twisted cubic (funzione cubica e curva algebrica liscia   di grado   nello spazio proiettivo tridimensionale  )   nelle coordinate affini  
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