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Una varietà algebrica è l'insieme degli zeri di una famiglia di polinomi, e costituisce l'oggetto principale di studio della geometria algebrica. Tramite il concetto di varietà algebrica è possibile costituire un legame tra l'algebra e la geometria, che permette di riformulare problemi geometrici in termini algebrici, e viceversa. Tale legame è basato principalmente sul fatto che un polinomio complesso in una variabile è completamente determinato dai suoi zeri: il teorema degli zeri di Hilbert permette infatti di stabilire una corrispondenza tra varietà algebriche e ideali di anelli di polinomi.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   un campo algebricamente chiuso,   l'anello dei polinomi su   in   variabili, e   una famiglia di polinomi dell'anello. Il sottoinsieme di   formato dai punti che annullano tutti i polinomi di   è una varietà algebrica:

 .

Varietà affiniModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà affine.

Dato il campo algebricamente chiuso   e uno spazio affine   di dimensione   su  , i polinomi dell'anello   sono funzioni a valori in   definite su  .

Presa una famiglia di polinomi  , l'insieme dei punti di   per cui le funzioni di   sono tutte nulle

 

è detto insieme algebrico affine. Se   non può essere scritto come unione propria di due insiemi algebrici affini, è detto varietà affine.

ProprietàModifica

  • Sulle varietà affini è possibile definire una topologia naturale definendo come insiemi chiusi tutti gli insiemi algebrici (topologia di Zariski).
  • Dato  ,   è l'ideale formato da tutte le funzioni che si annullano su  :
 .
Si definisce anello delle coordinate   di   l'anello quoziente  . Il grado di trascendenza del campo delle frazioni di   su   è detto dimensione di  .
  • Un insieme algebrico affine   è una varietà se e solo se   è un ideale primo, ovvero se e solo se l'anello delle coordinate di   è un dominio di integrità.
  • Ogni insieme algebrico affine può essere scritto in maniera unica come unione di varietà algebriche.

Varietà proiettiveModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Varietà proiettiva.

È possibile modificare leggermente la definizione di varietà affine per estenderla al caso di uno spazio proiettivo   sul campo  : in questo caso si considera un insieme  , formato da polinomi omogenei (ovvero i cui monomi hanno tutti lo stesso grado). Con le medesime notazioni si ottengono allora le definizioni di insieme algebrico proiettivo, varietà proiettiva, topologia di Zariski e anello delle coordinate di una varietà.

Isomorfismi di varietà algebricheModifica

Un isomorfismo tra due varietà algebriche   e   è un morfismo di varietà algebriche che è anche biiettivo e la cui funzione inversa è anch'essa un morfismo di varietà algebriche. La biiettività da sola non è sufficiente, infatti esistono morfismi biiettivi che non sono isomorfismi.

Due varietà algebriche   e   sono dette isomorfe se esiste un isomorfismo   tra esse. Per indicare che   e   sono isomorfe si scrive  .

L'isomorfismo tra varietà algebriche è una relazione di equivalenza: tutte le varietà algebriche isomorfe tra di loro si possono considerare come equivalenti rispetto a molte caratteristiche e vengono raggruppate in un'unica classe di equivalenza detta varietà algebrica astratta.

Varietà algebriche differenziabiliModifica

Se   è il campo dei numeri complessi, una varietà algebrica localmente isomorfa a   è dotata anche di una struttura di varietà differenziabile m-dimensionale; la varietà in questo caso è priva di punti singolari. Si dimostra anche che una varietà algebrica differenziabile è equivalente all'insieme degli zeri di una famiglia di funzioni algebriche analitiche.

GeneralizzazioniModifica

La geometria algebrica moderna ha rivisto integralmente la definizione di varietà algebrica, rendendola considerevolmente più astratta, con l'obiettivo di estenderne l'uso oltre le limitazioni della teoria classica, ad esempio per poter definire varietà algebrica su campi non algebricamente chiusi.

Una varietà viene definita come uno schema, ovvero uno spazio topologico dotato di un fascio di anelli locali, che hanno inoltre la proprietà di essere K-algebre finitamente generate. In tal modo ogni punto della varietà possiede un intorno dotato di una struttura di anello locale e isomorfo allo spettro di un anello; viene solitamente imposta la condizione che sia possibile ricoprire l'intera varietà con un numero finito di intorni.

Ulteriori estensioni si possono ottenere utilizzando fasci di anelli che non sono domini di integrità, oppure possiedono elementi nilpotenti.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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