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Tensore energia impulso

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Le componenti del tensore energia impulso.

Il tensore energia-impulso, anche detto tensore energia-quantità di moto, è un tensore definito nell'ambito della teoria della relatività. Esso descrive il flusso di energia e quantità di moto associate a un campo.

DefinizioneModifica

Il tensore energia impulso è il tensore   del secondo ordine che fornisce il flusso della componente  -esima della quantità di moto attraverso una ipersuperficie   con coordinate   costanti. In relatività generale la quantità di moto è il quadrimpulso  , e dunque:[1]

 

dove   è un termine costante. Eseguendo l'integrale sull'iperpiano   si ha l'impulso in tre dimensioni:

 

con   l'elemento di spazio tridimensionale e   il volume contenuto in  .

Le componenti spaziali del tensore sono quindi le componenti tridimensionali dell'impulso classico, mentre la componente temporale è l'energia divisa per la velocità della luce: esso rappresenta il vettore energia-momento totale della regione di spazio a cui è esteso l'integrale.

Il tensore è utilizzato per esprimere la conservazione del quadrimpulso, fornita dall'equazione di continuità:

 

Infatti, esso corrisponde alla corrente di Noether associata alle traslazioni nello spaziotempo, e in relatività generale questa quantità agisce come sorgente della curvatura dello spaziotempo. Nello spaziotempo curvo l'integrale spaziale dipende dalla porzione di spazio in generale, e questo significa che non c'è modo di definire un vettore energia-momento globale in uno spaziotempo curvo generale.

Il tensore è inoltre simmetrico:[2]

 

e la componente temporale è la densità di massa relativistica  , cioè la densità di energia divisa per la velocità della luce al quadrato:

 

Il flusso della massa relativistica attraverso la superficie   è equivalente alla densità dell'i-esima componente della quantità di moto:[2]

 

Le componenti spaziali di   rappresentano dunque il flusso della quantità di moto i-esima attraverso la superficie  . In particolare,   rappresenta la componente normale della tensione interna, detta pressione quando è indipendente dalla direzione, mentre   rappresenta lo sforzo di taglio.

DerivazioneModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Principio variazionale di Hamilton e Azione (fisica).

Si consideri un sistema in cui l'azione ha la forma data dall'integrale quadridimensionale:

 

dove   è la densità di lagrangiana relativa all'elemento di volume  , funzione delle coordinate generalizzate, della loro derivata e del tempo. Il principio variazionale di Hamilton stabilisce che il moto di un sistema fisico fra due istanti dello spazio delle configurazioni è tale che l'azione sia stazionaria in corrispondenza della traiettoria del moto per piccole perturbazioni dello stesso, ovvero  , e quindi:[3]

 
 

Se si applica il teorema di Gauss e si considera l'integrale su tutto lo spazio, il secondo termine si annulla. L'equazione del moto assume allora la forma dell'equazioni di Eulero-Lagrange:

 

dove l'indice ripetuto implica la sommatoria, secondo la notazione di Einstein. Sostituendo tale espressione all'interno di:

 

si ottiene:

 

Dato che  , si definisce il tensore energia impulso come:

 

in modo che l'espressione assume la forma:

 

Il teorema della divergenza consente di trasformare l'integrale volumetrico di tale derivata in un flusso attraverso la ipersuperficie che delimita il volume:[4]

 

dove   è il quadrimpulso del sistema e   un termine costante che si pone solitamente pari a  : la relazione stabilisce che   si conserva.

Conservazione dell'energiaModifica

Scrivendo in modo esplicito le derivate dell'equazione di continuità   si hanno le espressioni:[2]

 

Integrando l'equazione a sinistra sul volume   e utilizzando il teorema della divergenza si ottiene:[5]

 

Il primo termine è la variazione dell'energia contenuta nel volume  , il terzo rappresenta quindi la quantità di energia che fuoriesce dalla superficie che delimita il volume, quantificata come l'integrale su tutta la superficie del flusso infinitesimo attraverso l'elemento di superficie  . In elettrodinamica, la densità del flusso dell'energia associata al campo elettromagnetico è data dal vettore di Poynting.

Applicando il medesimo procedimento alle componenti spaziali del tensore si ottiene l'analoga equazione di continuità per l'impulso: per tale motivo le componenti spaziali del tensore energia-impulso costituiscono il tensore degli sforzi.

Il tensore energia impulso del campo elettromagneticoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Tensore degli sforzi elettromagnetico.

Il tensore energia impulso associato al campo elettromagnetico in un punto-universo privo di carica, detto tensore degli sforzi elettromagnetico, è definito nel sistema internazionale di unità di misura e nello spaziotempo di Minkowski piatto (ossia nell'approssimazione di campo (elettromagnetico e di altra natura) di debole intensità) come:[6]

 

dove   è il tensore elettromagnetico. La forma matriciale esplicita (tensore simmetrico) è:

 

dove   è il vettore di Poynting,   il tensore metrico dello spaziotempo di Minkowski:

 

e   il tensore degli sforzi di Maxwell:[7]

 

Si noti che   dove c è la velocità della luce.

Il tensore energia-impulso associato al campo elettromagnetico puro in un punto-universo privo di carica in relatività generale entra nell'equazione di campo di Einstein nella quale il tensore energia-impulso deve contenere anche tutti le influenze dovute alla massa e agli altri campi presenti nell'universo.

NoteModifica

  1. ^ Landau, Lifshits, Pag. 111.
  2. ^ a b c Landau, Lifshits, Pag. 112.
  3. ^ Landau, Lifshits, Pag. 109.
  4. ^ Landau, Lifshits, Pag. 110.
  5. ^ Landau, Lifshits, Pag. 113.
  6. ^ Landau, Lifshits, Pag. 114.
  7. ^ Landau, Lifshits, Pag. 115.

BibliografiaModifica

  • (EN) John D Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, 1999, ISBN 0-471-30932-X.
  • Lev D. Landau, Evgenij M. Lifshits, Fisica teorica 2 - Teoria dei campi, Roma, Editori Riuniti Edizioni Mir, 1976, ISBN 88-359-5358-8.
  • Leonardo Ricci, "History of science: Dante's insight into galilean invariance", Nature 434, p. 717 7 aprile 2005.
  • Tommaso Alberto Figliuzzi, Relatività e Causalità tra fisica e filosofia, Aracne Editrice, 2007.
  • Bertrand Russell, L'ABC della relatività, 1925.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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