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In matematica, una misura di Radon è una misura definita sulla sigma-algebra di uno spazio topologico di Hausdorff che è localmente finita e internamente regolare.

Un problema comune nell'ambito della teoria della misura è quello di trovare una nozione di misura compatibile con la topologia dello spazio topologico in questione. Solitamente per ottenere ciò si definisce una misura sulla sigma-algebra dei boreliani dello spazio, ma questo implica spesso il manifestarsi di alcune difficoltà, come il fatto che la misura può non avere un supporto ben definito. Un approccio alternativo è quello di restringersi a spazi topologici di Hausdorff localmente compatti, e considerare soltanto le misure che corrispondono a funzionali lineari positivi definiti su uno spazio di funzioni continue a supporto compatto. Alcuni autori utilizzano questo caso per la definizione di misura di Radon. In generale, se non vi sono restrizioni a misure non negative e complesse, allora le misure di Radon possono essere definite come costituenti il duale continuo dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto.

DefinizioneModifica

Sia   una misura sulla σ-algebra formata dagli insiemi di Borel di uno spazio topologico di Hausdorff  . La misura   è una misura di Radon se, per ogni insieme di Borel  ,   è l'estremo superiore dei valori assunti da   rispetto a tutti i sottoinsiemi compatti   di   (cioè si tratta di una misura internamente regolare) e per ogni punto di   esiste un intorno   tale per cui   è una misura finita, ovvero è una misura localmente finita.

Si definisce spazio di Radon uno spazio metrico separabile   tale per cui ogni misura di probabilità di Borel su   è internamente regolare. Dal momento che una misura di probabilità è una misura localmente finita, ogni misura di probabilità su uno spazio di Radon è anche una misura di Radon.

Spazi localmente compattiModifica

Quando lo spazio di misura è uno spazio topologico localmente compatto la definizione di misura di Radon può essere espressa per mezzo dei funzionali lineari continui sullo spazio delle funzioni continue a supporto compatto. Questo rende possibile sviluppare la teoria della misura e dell'integrazione anche nell'ambito dell'analisi funzionale, in cui si notano somiglianze con la definizione del concetto di distribuzione.

Sia   uno spazio topologico localmente compatto. Le funzioni continue a valori reali che hanno supporto compatto definite su   formano uno spazio vettoriale  , in cui si può definire naturalmente una topologia localmente convessa. Infatti, lo spazio   è l'unione degli spazi   composti da funzioni continue il cui supporto è contenuto in compatti  . Ognuno degli spazi   è uno spazio di Banach equipaggiato con la topologia della convergenza uniforme, ma in quanto unione di spazi topologici è un caso particolare di limite diretto di spazi topologici, e pertanto assume la topologia del limite diretto indotta dagli spazi  .

Se   è una misura di Radon su  , la mappa:

 

è una trasformazione lineare continua e positiva dallo spazio   in  . Il fatto che sia positiva significa che l'integrale   quando   è non-negativa, mentre la continuità è intesa rispetto alla topologia del limite diretto, che è equivalente a dire che per ogni sottoinsieme compatto   di   esiste una costante   tale che per ogni funzione continua a valori reali   definita su   con supporto contenuto in   si verifica:

 

Viceversa, per il teorema di Riesz-Markov, ogni funzionale lineare positivo su   può essere definito per mezzo di un'integrazione rispetto alla misura di Radon, ed è quindi un funzionale continuo.

Si definisce inoltre misura di Radon a valori reali un qualsiasi funzionale lineare continuo su  , cioè appartenente al duale di  . Una misura di Radon a valori reali non è necessariamente una misura con segno.

Per completare la caratterizzazione della teoria della misura per spazi localmente compatti da un punto di vista analitico si devono estendere la misura e l'integrazione per funzioni che non sono continue e aventi supporto compatto. Questo è possibile, in vari passaggi, per le funzioni a valori reali o complessi:

  • inizialmente si definisce l'integrale superiore   (ovvero il sup del valore dell'integrale   con estremo di integrazione superiore variabile) per funzioni inferiormente semicontinue   a partire delle funzioni a supporto compatto   come l'estremo superiore dei numeri positivi  ;
  • quindi si definisce l'integrale superiore   per funzioni positive reali   come l'estremo inferiore degli integrali superiori  ;
  • si definiscono successivamente lo spazio vettoriale   delle funzioni   su   il cui valore assoluto ha integrale superiore   finito, e tale integrale definisce una seminorma sullo spazio, che risulta completo rispetto alla topologia indotta dalla seminorma.
  • Si procede poi con la definizione dello spazio vettoriale   delle funzioni integrabili come la chiusura in   dello spazio delle funzioni continue a supporto compatto, e dunque con l'introduzione (tramite estensione per continuità) dell'operatore integrale. La misura di un insieme è quindi definita attraverso l'integrale (se esiste) della funzione indicatrice dell'insieme stesso.

Tramite questa procedura si ottiene una teoria identica a quella che definisce le misure di Radon come funzioni che assegnano un numero agli insiemi di Borel dello spazio  .

EsempiModifica

Sono misure di Radon:

BibliografiaModifica

  • (EN) L. Ambrosio, N. Fusco, D. Pallara, "Functions of bounded variations and free discontinuity problems". Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000. MR1857292Zbl 0957.49001
  • (EN) N. Bourbaki, Elements of mathematics. Integration , Addison-Wesley (1975) pp. Chapt.6;7;8
  • (EN) Ambrosio, L., Gigli, N. & Savaré, G., Gradient Flows in Metric Spaces and in the Space of Probability Measures, Basel, ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, 2005, ISBN 3-7643-2428-7.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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