Apri il menu principale

Teorema di unicità del limite

teorema di analisi matematica

Il teorema di unicità del limite è un teorema di matematica, e più precisamente di analisi. Assume forme diverse a seconda dei contesti, ed in ciascuno di questi afferma che non possono esserci due limiti distinti. Si applica soprattutto a successioni e funzioni.

Indice

SuccessioniModifica

EnunciatoModifica

Il teorema di unicità del limite per le successioni asserisce che

Una successione   di numeri reali non può avere due limiti distinti.

In altre parole, se la successione ha un limite, questo è unico.

DimostrazioneModifica

Supponiamo che   siano limiti (finiti; in verità, si può facilmente eliminare tale restrizione) della successione  . Mostreremo che  .

Per la definizione di limite, per ogni   esistono   ed   tali che per ogni   è vera  , e per ogni   è vera   . Sia   il massimo tra   e  . Allora per ogni   abbiamo

 

per la disuguaglianza triangolare. Quindi   per ogni  , e quindi  . Quindi  .

GeneralizzazioniModifica

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi successione di punti in uno spazio metrico. Più in generale, vale in qualsiasi spazio topologico di Hausdorff.

FunzioniModifica

EnunciatoModifica

Il teorema di unicità del limite per le funzioni asserisce che

Una funzione   definita su un intervallo aperto   dei numeri reali non può avere due limiti distinti in un punto   di accumulazione per  .

In altre parole, se la funzione ha limite in  , questo è unico.

DimostrazioneModifica

Supponiamo che   siano limiti della funzione in  . Mostreremo che  , ragionando per assurdo e supponendo quindi che   e   siano distinti. Allora esistono due intorni   di   e   di   disgiunti.

Per definizione di limite, esistono due intorni   e   di   per cui vale:

  appartiene a   per ogni   in   diverso da  ,
  appartiene a   per ogni   in   diverso da  .

L'insieme   è un altro intorno di  , quindi contiene un punto   di   diverso da   perché   è punto di accumulazione per  . Per questo punto,   è contemporaneamente in   e  , che però sono disgiunti: questo è assurdo.

GeneralizzazioniModifica

Il teorema vale (con analoga dimostrazione) anche per qualsiasi funzione   fra spazi metrici, come ad esempio lo spazio euclideo   o un qualsiasi suo sottoinsieme. Più in generale, vale per funzioni fra spazi topologici, con l'ipotesi che il codominio   sia di Hausdorff.

OsservazioneModifica

L'ipotesi nell'enunciato generale che il codominio sia uno spazio di Hausdorff (come   con l'usuale topologia euclidea) è la chiave di tutto il teorema. Infatti in uno spazio non di Hausdorff in generale non vale l'unicità del limite. Basti vedere quest'esempio:

Sia   con la topologia euclidea, mentre   con la topologia della semicontinuità inferiore, cioè i cui aperti sono le semirette destre; sia  . Allora la funzione ammette infiniti limiti, in particolare:

 , per ogni  .

Infatti, scelto un qualsiasi  , i suoi intorni sono gli insiemi del tipo  , con   > 0, dunque essi contengono l'immagine di un qualsiasi intorno dello 0 dato secondo la topologia euclidea, cioè degli intervalli  , restringendo opportunamente il raggio  .

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica