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In matematica, l'algebra differenziale costituisce il punto di contatto tra l'algebra astratta e l'analisi matematica, in quanto studia le strutture algebriche munite di una operazione di "derivazione", definita come una particolare operazione unaria interna che soddisfa la regola fondamentale della derivata, cioè la regola di Leibniz.

Anello e campo differenzialeModifica

Un anello differenziale è un anello   equipaggiato di una derivazione, cioè di una funzione

 

che soddisfi le proprietà di additività e la regola di Leibniz:

 
 

Occorre fare attenzione alla scrittura della seconda identità, in quanto l'anello potrebbe non essere commutativo e quindi l'usuale scrittura   potrebbe essere falsa. In generale la regola si può esprimere come

 

dove   è la moltiplicazione dell'anello e  .

Un campo differenziale è, di conseguenza, un anello differenziale che sia anche un campo. In questo caso non è più necessario l'accorgimento precedente, in quanto la moltiplicazione è sempre commutativa.

Ulteriori definizioni e proprietàModifica

Usando semplicemente i due assiomi imposti, si riescono a dimostrare, in ogni anello differenziale unitario, alcune proprietà dell'operatore di derivazione già note dall'analisi reale:

 
 

dove con   e   si sono indicati i due elementi neutri rispettivamente della moltiplicazione e dell'addizione. Se l'anello è commutativo e   è invertibile allora vale anche regola del quoziente:

 

Il campo delle costanti di   è definito come

 

Dati due campi differenziali   e  , un omomorfismo differenziale è un omomorfismo di campi che "commuti" con la derivazione, cioè tale che

 

Se   è un'estensione di   e l'inclusione canonica di   in   è un omomorfismo differenziale, cioè se

 

per ogni   allora   si dice un'estensione differenziale.

Un elemento di un campo differenziale   si dirà un logaritmo se esiste un elemento   tale che

 

Un elemento di un campo differenziale   si dirà un'esponenziale se esiste un elemento   tale che

 

EsempiModifica

L'anello dei polinomi   nella variabile   sul campo   è un anello differenziale se munito dell'operatore

 

con   se   (cioè se il polinomio è costante). Si verifica che   è una radice multipla di   se e solo se  .

Nel caso  , si può dire che una derivazione sul campo   delle funzioni razionali nella variabile   a coefficienti razionali che estenda la derivazione su   appena introdotta è completamente caratterizzato dalla condizione  . Il suo campo delle costanti è  .

Integrazione indefinita in un campo differenzialeModifica

Avendo introdotto la derivazione in modo formale, si può anche parlare di integrale indefinito di un elemento di un campo differenziale. Più precisamente, dato un   in  , il processo di integrazione indefinita di   consiste nel determinare un'estensione differenziale   di   nella quale esiste un elemento   tale che  .

È necessario ammettere che   stia in una arbitraria estensione di   e non in   stesso: ad esempio, nel caso   sopra introdotto, si può dimostrare che non esiste un elemento   tale che  

Data questa definizione di integrale si ritrova identica anche la cosiddetta regola di integrazione per parti:

 

Algebra su campo differenzialeModifica

Sia   un'algebra sul campo   Si può definire una derivazione su   come una funzione lineare   che soddisfi la regola di Leibniz. In tal caso   è detta algebra differenziale su un campo.

Voci correlateModifica