Indipendenza lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti ad uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente.

L'indipendenza di $n$ vettori in $\mathbb {R} ^{n}$ può essere verificata tramite il determinante della matrice ottenuta affiancando le n-uple che esprimono i vettori in una data base: questi sono indipendenti precisamente quando la matrice che formano ha determinante diverso da zero. Questo procedimento di calcolo è però in generale dispendioso, e conviene piuttosto utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jordan.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Dati $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ elementi di $V$, si dice che essi sono linearmente indipendenti su $K$ se in tale campo la relazione:

$\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} \qquad a_{i}\in K$

è verificata solo se gli elementi $a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}$ sono tutti uguali a zero. Se invece tali n-uple di elementi non nulli del campo esistono, allora si dice che $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ elementi di $V$ sono linearmente dipendenti.

La definizione si estende anche ad un insieme infinito di vettori di $V$: questi sono linearmente indipendenti se lo sono tutti i sottoinsiemi finiti.

Il concetto di indipendenza lineare è di grande importanza, poiché un insieme di vettori linearmente indipendenti forma una base per il sottospazio da lui generato, e quindi il loro numero risulta essere la dimensione di questo spazio.

Lo spazio proiettivo delle dipendenze lineari

Si consideri l'insieme $S$ costituito dai vettori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$. Si dice dipendenza lineare per $S$ un vettore $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ di $K^{n}$ diverso da $\mathbf {0} =(0,\dots ,0)$ tale che:

$a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=0$

Se una tale dipendenza lineare esiste, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti. Data una dipendenza lineare $\mathbf {d}$ per un insieme $S$ di $n$ vettori, ogni vettore $\alpha \mathbf {d}$ proporzionale ad essa, con $\alpha \neq 0$ appartenente a $K$, è una dipendenza lineare per lo stesso $S$. Questo rende lecito identificare due dipendenze lineari l'una multipla non nulla dell'altra.

In conseguenza di tale identificazione, l'insieme di tutte le dipendenze lineari per l'insieme costituito dai vettori $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\dots ,\mathbf {v} _{n}$ è uno sottospazio dello spazio proiettivo $P(K^{n})$.

Esempi

Nel piano

I vettori $(1,1)$ e $(-3,2)$ in $R^{2}$ sono linearmente indipendenti. Infatti, siano $a$ e $b$ due numeri reali tali che:

$a(1,1)+b(-3,2)\,=\,(0,0)$

allora:

$(a-3b,a+2b)=(0,0)$

cioè:

$a-3b=0\qquad a+2b=0$

risolvendo per $a$ e $b$, si trova $a=0$ e $b=0$.

Base canonica

Sia $V=\mathbb {R} ^{n}$ e si considerino i seguenti elementi in $V$:

${\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&:=(1,0,0,\ldots ,0)\\\mathbf {e} _{2}&:=(0,1,0,\ldots ,0)\\\vdots \\\mathbf {e} _{n}&:=(0,0,0,\ldots ,1)\end{aligned}}$

allora $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots \mathbf {e} _{n}$ sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che $a_{1},a_{2},\dots a_{n}$ siano elementi di $\mathbb {R}$ tali che:

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}\,=\,0$

Poiché:

$a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {e} _{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$

allora $a_{i}=0$ per ogni $i$ in $\{1,\dots n\}$.

Funzioni

Sia $V$ lo spazio vettoriale di tutte le funzioni da $\mathbb {R}$ in $\mathbb {R}$. Indicando con $t$ la variabile reale, le funzioni $e^{t}$ ed $e^{2t}$ in $V$ sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che $a$ e $b$ siano due numeri reali tali che:

$ae^{t}+be^{2t}=0$

per ogni valore di $t$. Si deve dimostrare che $a=0$ e $b=0$. A questo scopo si differenziano entrambi i membri della precedente relazione per avere:

$ae^{t}+2be^{2t}=0$

Sottraendo la prima relazione dalla seconda, si ottiene:

$be^{2t}=0$

e, considerando il valore particolare $t=0$, si ha $b=0$.

Dalla prima relazione allora:

$ae^{t}\,=\,0$

e di nuovo per $t=0$ si trova $a=0$.

Bibliografia

• Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.
• (EN) Kenneth Hoffman, Ray Kunze, Linear Algebra, 2ª ed., Englewood Cliffs, New Jersey, Prentice - Hall, inc., 1971, ISBN 0-13-536821-9.
• (EN) Stephen Friedberg, Arnold Insel e Lawrence Spence, Linear Algebra, 4ª ed., Pearson, 2003, pp. 48-49, ISBN 0-13-008451-4.

Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Combinazione lineare
• Completamento a base
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Indipendenza affine
• Indipendenza algebrica
• Matrice di cambiamento di base
• Spazio vettoriale
• Vettore (matematica)

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Indipendenza lineare, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Indipendenza lineare, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Tutorial and interactive program on Linear Independence.
• (EN) Introduction to Linear Independence at KhanAcademy.