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Con il termine costanti trigonometriche esatte si indicano espressioni riguardanti valori o combinazioni di valori di funzioni trigonometriche costruite a partire da numeri interi con le operazioni razionali e le operazioni di estrazione di radice. Queste espressioni numeriche sono utilizzate principalmente per semplificare le soluzioni di problemi geometrici fornite mediante radicali.

Tutti i valori delle funzioni sin, cos e tan di angoli multipli di 3° sono ottenibili servendosi delle identità di bisezione, duplicazione, addizione/sottrazione e dei valori corrispondenti agli angoli di 0°, 30°, 36° e 45°. Si ricorda che 1° = π/180 radianti.

Indice

Tavola delle espressioniModifica

 
Valori esatti di seno e coseno per angoli multipli di 3 gradi.

I valori relativi ad angoli non contenuti nell'intervallo [0° ... 45°] si possono ricavare da quelli qui forniti mediante semplici osservazioni sulla circonferenza di raggio 1 e sugli effetti di opportune rotazioni e riflessioni.

0° - valori fondamentaliModifica

 
 
 

3° - Esacontagono (60 lati)Modifica

 
 
 

6° - Triacontagono (30 lati)Modifica

 
 
 

9° - Icosagono (20 lati)Modifica

 
 
 

12° - Pentadecagono (15 lati)Modifica

 
 
 

15° - Dodecagono (12 lati)Modifica

 
 
 
 

18° - Decagono (10 lati)Modifica

 
 
 
 

21° = 9° + 12°Modifica

 
 
 

22.5° - Ottagono (8 lati)Modifica

 
 
 
 

24° = 12° + 12°Modifica

 
 
 
 

27° = 12° + 15°Modifica

 
 
 

30° - Esagono (6 lati)Modifica

 
 
 
 

33° = 15° + 18°Modifica

 
 
 

36° - Pentagono (5 lati)Modifica

 
 
 

39° = 18° + 21°Modifica

 
 
 

42° = 21° + 21°Modifica

 
 
 

45° - Quadrato (4 lati)Modifica

 
 
 
 

NoteModifica

Uso delle costantiModifica

Una grandezza come il volume di un dodecaedro è data dalla seguente espressione:

 

Usando

 
 

l'espressione precedente può essere semplificata nella:

 .

Dimostrazioni delle espressioni mediante triangoliModifica

La derivazione dei valori particolari delle funzioni sin, cos e tan nella forma radiale è basata sulla costruibilità di triangoli rettangoli che conviene individuare come sezioni simmetriche di poligoni regolari. Ciascuno dei triangoli rettangoli considerati ha come vertici 3 punti di un poligono regolare: un suo vertice V, il punto medio M di un lato che ha come estremo V e il centro C del poligono. Per N=3, 4, 5, ... si considera un N-agono regolare suddiviso in 2*N triangoli rettangoli aventi angoli di 180°/N (vertice C), 90° (vertice M) e 90°-180°/N (vertice V).

Ci si basa sulla costruibilità con riga e compasso di poligoni a 3, 4, 5, e 15 lati e si utilizzano le bisettrici per ricavare anche i multipli di due.

  • Costruibili
    • Poligoni regolari a 3*2X lati, X=0,1,2,3,...
    • 4*2X lati
      • 45°-45°-90° triangolo - quadrato (4 lati)
      • 67.5°-22.5°-90° triangolo - ottagono (8 lati)
      • 88.75°-11.25°-90° triangolo - esadecagono (16 lati)
      • ...
    • 5*2X lati
    • 15*2X lati
    • ... (Poligoni regolari di grado superiore costruibili non possono essere fatte per angoli di grado intero: 17, 51, 85, 255, 257...)
  • Non costruibili (con angoli di grado intero o di mezzo grado) - Le forme radiali non limitate per queste proporzioni di taglio del triangolo sono note.

Espressioni non singoleModifica

La semplificazione di un radicale annidato, ovvero un radicale doppio, non è banale e non sempre può essere effettuata.

Esempio:

 

Non è così evidente che questa uguaglianza sia vera, ed in generale i radicali doppi non possono essere ridotti. Però si ha

      è un quadrato perfetto

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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