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In geometria differenziale, la curvatura media di una superficie è una misura della curvatura della superficie in un punto.

La curvatura media è definita come la media aritmetica delle curvature principali nel punto. È una quantità che, a differenza della curvatura gaussiana (definita come il prodotto di queste), misura la curvatura estrinseca della superficie: è cioè dipendente dal modo in cui la superficie è posta nello spazio.

Le superfici a curvatura media nulla sono dette superfici minime, e compaiono in natura ad esempio immergendo nell'acqua saponata un telaietto metallico di forma arbitraria.

Indice

DefinizioneModifica

Sia   una superficie nello spazio euclideo  . La superficie deve essere sufficientemente regolare affinché le curvature principali siano definite.

Curvature principaliModifica

La curvatura media di   in un punto   è la media aritmetica   delle curvature principali   e   nel punto.

Se indichiamo con   e   i raggi corrispondenti alle curvature principali, allora possiamo scrivere che:

 

ossia, che l'inverso della curvatura media è pari alla media armonica dei raggi di curvatura principale. Inoltre, possiamo riscrivere la curvatura media nei termini di quella gaussiana (K):

 

HessianoModifica

La curvatura media può essere definita più concretamente nel modo seguente. Con una rotazione, la superficie può essere trasformata in modo che il piano tangente in   sia orizzontale. Vicino a  , la superficie è il grafico di una funzione

 

definita su un insieme aperto   di  . Quindi   ha coordinate  . Poiché il piano tangente è orizzontale, questa funzione ha gradiente nullo. La curvatura media in   è quindi definita come la traccia dell'hessiano di   in  . Perché questa definizione abbia senso, la funzione deve essere differenziabile almeno due volte: l'hessiano è infatti la matrice simmetrica   data dalle derivate parziali seconde di  .

SegnoModifica

In entrambe le definizioni, il segno della curvatura media dipende dalla scelta di una normale alla superficie nel punto.

EsempiModifica

Curvatura costanteModifica

Il piano e la sfera di raggio   hanno curvature principali costanti   per ogni punto, con   nel piano e   nella sfera. Queste superfici hanno quindi curvatura media costante  .

Piano e cilindroModifica

Il piano ed il cilindro hanno entrambe curvatura gaussiana nulla, ma hanno curvature medie differenti. Il piano ha curvatura media nulla, mentre il cilindro di raggio   ha curvature direzionali   e   e la sua curvatura media è quindi  .

Arrotolando un foglio di carta, si modifica la sua forma nello spazio (quindi cambiano le curvature estrinseche come la curvatura media) ma resta invariata la curvatura gaussiana (che dipende dalla metrica intrinseca, cioè soltanto dalla prima forma fondamentale, cioè dal tensore metrico sulla superficie).

Esempio puntualeModifica

 
Il paraboloide iperbolico   ha curvatura media nulla nell'origine.

La funzione

 

ha gradiente  . Il gradiente è nullo nell'origine, e quindi la curvatura media del grafico   di   in   è la traccia dell'hessiano. L'hessiano è

 

e la sua traccia è  . La curvatura media di   in   è quindi  . Questa è ad esempio nulla in presenza di un punto di sella, ove  .

Questo metodo per calcolare la curvatura è però funzionante solo in  , dove il gradiente si annulla.

BibliografiaModifica

  • (EN) Manfredo do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, 1976, ISBN 0-13-212589-7.

Voci correlateModifica

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