In matematica, la formula di Jacobi, che prende il nome dal matematico C. G. J. Jacobi, esprime la derivata del determinante di una matrice attraverso la matrice dei cofattori (o matrice dei complementi algebrici) di e della derivata di stessa. Il determinante di una matrice può infatti considerarsi una funzione polinomiale:

quindi essa è differenziabile e il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:

dove denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche matrice aggiunta e denotata come ), mentre è la traccia.

Dunque la derivata rispetto a del determinante si scrive:

Dimostrazione Modifica

L'espansione di Laplace per il determinante di una matrice   può essere scritta come:

 

dove la somma può essere svolta su qualsiasi colonna   della matrice. Il determinante può dunque essere espresso come una funzione   degli elementi della matrice:

 

in modo che utilizzando la regola della catena si vede che il suo differenziale è:

 

con la somma che interessa tutti gli   elementi della matrice.

Per calcolare   si sfrutta l'arbitrarietà dell'indice   nel termine a destra della formula di Laplace, che può essere scelto in modo da coincidere con il primo indice di  :

 

così che con la regola del prodotto:

 

Se un elemento di   e un cofattore   di un elemento di   sono nella stessa riga (o colonna), allora il cofattore non è una funzione di   dato che il cofattore di   è espresso tramite termini che non sono nella sua stessa riga (o colonna). Dunque la derivata si annulla:

 

e quindi:

 

Tutti gli elementi di   sono reciprocamente indipendenti:

 

dove   è il delta di Kronecker. Quindi:

 

da cui segue:

 

Si consideri ora il lemma:

 

che segue da:

 

e sfruttando il fatto che:

 

Utilizzando il lemma si giunge infine alla formula di Jacobi:

 

Bibliografia Modifica

  • (EN) Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Wiley, ISBN 0-471-98633-X
  • (EN) Bellmann, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994

Voci correlate Modifica

Collegamenti esterni Modifica

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