Formula di Jacobi

In matematica, la formula di Jacobi, che prende il nome dal matematico C. G. J. Jacobi, esprime la derivata del determinante di una matrice $A$ attraverso la matrice dei cofattori (o matrice dei complementi algebrici) di $A$ e della derivata di $A$ stessa. Il determinante di una matrice può infatti considerarsi una funzione polinomiale:

$\det :\mathbb {R} ^{n\times n}\to \mathbb {R}$

quindi essa è differenziabile e il suo differenziale può essere espresso mediante la formula di Jacobi:

$d\det(A)=\operatorname {tr} (\operatorname {cof} ^{T}(A)dA)$

dove $\operatorname {cof} ^{T}(A)$ denota la trasposta della matrice dei cofattori (detta anche matrice aggiunta e denotata come $\operatorname {adj} (A)$), mentre $\operatorname {tr}$ è la traccia.

Dunque la derivata rispetto a $t$ del determinante si scrive:

${\frac {d}{dt}}\det A(t)=\mathrm {tr} \left(\mathrm {adj} (A(t))\,{\frac {dA(t)}{dt}}\right)$

Dimostrazione

L'espansione di Laplace per il determinante di una matrice $A$ può essere scritta come:

$\det(A)=\sum _{j}A_{ij}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}$

dove la somma può essere svolta su qualsiasi colonna $i$ della matrice. Il determinante può dunque essere espresso come una funzione $F$ degli elementi della matrice:

$\det(A)=F\,(A_{11},A_{12},\ldots ,A_{21},A_{22},\ldots ,A_{nn})$

in modo che utilizzando la regola della catena si vede che il suo differenziale è:

$d\det(A)=\sum _{i}\sum _{j}{\partial F \over \partial A_{ij}}\,dA_{ij}$

con la somma che interessa tutti gli $n\times n$ elementi della matrice.

Per calcolare $\partial F/\partial A_{ij}$ si sfrutta l'arbitrarietà dell'indice $i$ nel termine a destra della formula di Laplace, che può essere scelto in modo da coincidere con il primo indice di $\partial /\partial A_{ij}$:

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}={\partial \sum _{k}A_{ik}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial (A_{ik}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}) \over \partial A_{ij}}$

così che con la regola del prodotto:

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}+\sum _{k}A_{ik}{\partial \,\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}$

Se un elemento di $A_{ij}$ e un cofattore $\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}$ di un elemento di $A_{ik}$ sono nella stessa riga (o colonna), allora il cofattore non è una funzione di $A_{ij}$ dato che il cofattore di $A_{ik}$ è espresso tramite termini che non sono nella sua stessa riga (o colonna). Dunque la derivata si annulla:

${\partial \,\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik} \over \partial A_{ij}}=0$

e quindi:

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}{\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}$

Tutti gli elementi di $A$ sono reciprocamente indipendenti:

${\partial A_{ik} \over \partial A_{ij}}=\delta _{jk}$

dove $\delta _{jk}$ è il delta di Kronecker. Quindi:

${\partial \det(A) \over \partial A_{ij}}=\sum _{k}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ik}\delta _{jk}=\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}$

da cui segue:

$d(\det(A))=\sum _{i}\sum _{j}\mathrm {adj} ^{\rm {T}}(A)_{ij}\,dA_{ij}$

Si consideri ora il lemma:

$\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)$

che segue da:

$\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)=\sum _{j}(A^{\rm {T}}B)_{jj}=\sum _{j}\sum _{i}A_{ij}B_{ij}=\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}$

e sfruttando il fatto che:

$\sum _{i}\sum _{j}A_{ij}B_{ij}=\mathrm {tr} (A^{\rm {T}}B)\qquad (AB)_{jk}=\sum _{i}A_{ji}B_{ik}$

Utilizzando il lemma si giunge infine alla formula di Jacobi:

$d(\det(A))=\mathrm {tr} (\mathrm {adj} (A)\,dA)$

Bibliografia

• (EN) Magnus, Jan R.; Neudecker, Heinz (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, Wiley, ISBN 0-471-98633-X
• (EN) Bellmann, Richard (1987), Introduction to Matrix Analysis, SIAM, ISBN 0898713994

Voci correlate

• Determinante
• Matrice dei cofattori
• Traccia (matrice)

Collegamenti esterni

• (EN) W. Kahan - Jacobi's Formula for the Derivative of a Determinant (PDF), su cs.berkeley.edu.