Funzione di ripartizione

In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Nel calcolo delle probabilità

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione, o funzione di probabilità cumulata, di una variabile casuale $X$ a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore $x$ la probabilità del seguente evento: "la variabile casuale $X$ assume valori minori o uguali ad $x$ ".

In altre parole, è la funzione $F\colon \mathbb {R} \to [0,1]$ con dominio la retta reale e immagine nell'intervallo $[0,1]$ definita da

F(x)=P(X\leq x).

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e

F(x)\geq 0,\quad \forall x

\lim _{x\to +\infty }F(x)=1

\lim _{x\to -\infty }F(x)=0

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se $X$ è una variabile casuale discreta e $z$ un punto del suo supporto, allora $F$ è una funzione a gradino e dunque

\lim _{x\to z^{-}}F(x)=\lim _{x\to z^{-}}\sum _{i=1}^{n}p(x_{i})=\sum _{i=1}^{n}p(x_{i})

(ponendo senza restrizioni di generalità $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<x<z$ ) poiché è una costante indipendente da $x$ , mentre

F(z)=\sum _{i=1}^{n}p(x_{i})+p(z)

dunque essendo $p(z)\neq 0$ si ha che $F$ non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile $A$ associa la probabilità che $X$ cada in $A$ ^[1].

Proprietà

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione $F(x^{-}):=\lim _{t\to x^{-}}F(t)$ :

$\operatorname {P} (X<x)=F(x^{-})$
$\operatorname {P} (a<X\leq b)=F(b)-F(a)$
$\operatorname {P} (a\leq X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})$
$\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=F(b)-F(a^{-})$
$\operatorname {P} (a<X<b)=F(b^{-})-F(a)$
$\operatorname {P} (X=b)=F(b)-F(b^{-})$

Se $X$ è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di $X$ può essere espressa come funzione integrale:

F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(u)du

ove $f$ è detta funzione di densità di $X$ . Si può anche considerare la relazione inversa:

F'(x)=f(x)

Se $X$ è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori $x_{1},\ldots ,x_{n},\ldots$ )

F(x)=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})

dove $p(x)=P(X=x)$ è detta funzione di probabilità di $X$ .

Esempi

Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme

Se $X$ è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha

F(x)={\begin{cases}0&x<1\\\lfloor x\rfloor /6&1\leq x<6\\1&x\geq 6\end{cases}}

dove con $\lfloor x\rfloor$ si indica la parte intera di x.

Se $X$ è la variabile casuale uniforme continua in $[0,1]$ si ha

F(x)={\begin{cases}0&x<0\\x&0\leq x<1\\1&x\geq 1\end{cases}}

.

Funzione di sopravvivenza

In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore $x$ (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza $S$ (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:

S(x)=P(X>x)=1-F(x)

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:

S(x)=\int _{x}^{+\infty }f(t)dt

e

S(x)=\sum _{t>x}p(t).

Ogni funzione di sopravvivenza $S(x)$ è una funzione monotona decrescente, vale a dire $S(a)\leq S(b)$ per $a>b.$

Il tempo $x=0$ rappresenta l'origine, in genere l'inizio di uno studio o l'inizio del funzionamento di alcuni sistemi.

Variabili aleatorie multivariate

Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria $X$ a valori in $\mathbb {R} ^{k}$ è la funzione $F(x)$ con dominio $\mathbb {R} ^{k}$ e codominio l'intervallo $[0,1]$ definita da

F(x_{1},\ldots ,x_{k})=P((X_{1}\leq x_{1})\cap (X_{2}\leq x_{2})\cap \ldots \cap (X_{k}\leq x_{k}))

dove $X_{i}$ sono le componenti di $X$ .

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:

Per qualsiasi $i$ , $\lim _{x_{i}\to -\infty }F(x_{1},\ldots ,x_{k})=0$
$F$ è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se $c>0$ , $F(x_{1},\ldots ,x_{i}+c,\ldots ,x_{k})\geq F(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{k})$
se $k=2$ per semplicità, $P(a<X_{1}\leq b,c<X_{2}\leq d)=F(b,d)+F(a,c)-F(a,d)-F(b,c)$
$\lim _{x_{i}\to +\infty }F(x_{1},\ldots ,x_{k})=G(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},\ldots ,x_{k})$ dove $G$ è la funzione di ripartizione della variabile $(k-1)$ -variata $(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{i-1},X_{i+1},\ldots ,X_{k})$ .

Da quest'ultima proprietà viene anche l'uguaglianza

\lim _{x_{k}\to +\infty }\lim _{x_{k-1}\to +\infty }\ldots \lim _{x_{1}\to +\infty }F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})=1

e l'affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici $i$ .

In statistica descrittiva

In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con $F(x)$ e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore $x$ .

Se $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative $f_{1},\ldots ,f_{n}$ la funzione di ripartizione ha espressione analitica

F(x)={\begin{cases}0&x<x_{1}\\F_{i}=\sum _{j\leq i}f_{j}&x_{i}\leq x<x_{i+1}\\1&x\geq x_{n}\end{cases}}

Le $F_{i}$ sono dette frequenze relative cumulate.

Note

^ J. Jacod; P. Protter, Pag. 41.

Bibliografia

Giorgio Dall'Aglio, Calcolo delle probabilità, Zanichelli, Bologna, 2003
(EN) Jean Jacod, Philip Protter, Probability Essentials, Springer, 2000, ISBN 3-540-43871-8.