Lemma di Schwarz

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In matematica, e in particolare in analisi complessa, il lemma di Schwarz descrive una proprietà delle funzioni olomorfe. Il lemma, che prende il nome da Hermann Amandus Schwarz, è un risultato minore, utilizzato per la dimostrazione di altri teoremi più importanti, come il teorema della mappa di Riemann. È uno dei risultati più semplici che caratterizzano la "rigidità" delle funzioni olomorfe, che non trova analogie nel comportamento delle funzioni reali.

EnunciatoModifica

Sia   il disco aperto unitario nel piano complesso   e sia   una funzione olomorfa che fissa l'origine, cioè  . Allora valgono le seguenti relazioni:

  •  
  •  

Inoltre, se esiste   tale che

 

oppure

 

allora   è una rotazione nel piano complesso:

 

DimostrazioneModifica

La dimostrazione sfrutta essenzialmente il teorema del massimo modulo, applicandolo alla funzione

 

che risulta essere analitica nel disco unitario. Considerando un arbitrario disco chiuso interno al disco unitario aperto

 

e applicando il teorema del massimo modulo si ha che per   interno al   e   sulla frontiera vale

 

Dovendo questo valere per   arbitrariamente vicino a  , risulta   che è la prima parte della tesi.

Se valesse poi   oppure   in un punto   allora la   assumerebbe massimo all'interno del disco, cioè sarebbe una costante   di modulo  . Quindi   cioè   che è la tesi.

Estensioni del teoremaModifica

Il teorema di Schwarz-Pick asserisce che, data una funzione olomorfa  , valgono le seguenti relazioni (con  ):

  •  
  •  

Usando la metrica di Poincaré, definita dalla funzione:

 

la funzione   risulta essere una funzione contrattiva, in quanto accorcia le distanze tra i punti del piano (teorema di Schwarz–Ahlfors–Pick).

Se per una delle precedenti espressioni vale l'uguaglianza, allora   è un automorfismo analitico, espresso tramite una trasformazione di Möbius.

Il teorema di Schwarz può inoltre essere considerato come un caso particolare del teorema di de Branges.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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