Regola di Ruffini

In algebra la regola di Ruffini è un metodo efficiente per dividere un polinomio per un binomio di primo grado della forma $x-a$. Questa regola è stata descritta da Paolo Ruffini nel 1809 ed è un caso particolare della divisione polinomiale quando il divisore è un fattore lineare. La regola di Ruffini è anche nota come divisione sintetica.

L'algoritmo

La regola di Ruffini fornisce un metodo per dividere il polinomio

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

per il binomio

$A(x)=x-r,$

ottenendo il polinomio quoziente

$Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0},$

e un resto $R$ che è un termine costante (eventualmente nullo), poiché deve essere di grado minore rispetto al polinomio divisore.

L'algoritmo è una versione più efficiente della divisione polinomiale di $P(x)$ per $A(x)$.

Per dividere $P(x)$ per $A(x)$, si seguono i seguenti passi.:

1. Si scrivono in ordine i coefficienti di $P(x)$, e si scrive $r$ in basso a sinistra, sopra la riga:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &&&&&\\\end{array}}$

2. Si copia il coefficiente più a sinistra $a_{n}$ in basso, sotto la riga:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$

3. Si moltiplica il numero più a destra di quelli sotto la riga, per $r$, e il risultato lo si scrive sopra la riga, spostato di un posto a destra:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&&&&\\&=b_{n-1}&&&&\end{array}}$

4. Si somma questo valore con quello sopra di lui nella stessa colonna:

   ${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&&&\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&&&\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&&&\end{array}}$

Si ripetono i passi 3 e 4 fino al termine dei coefficienti

${\begin{array}{c|c c c c|c}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&&b_{n-1}\cdot r&\dots &b_{1}\cdot r&b_{0}\cdot r\\\hline &a_{n}&b_{n-1}\cdot r+a_{n-1}&\dots &b_{1}\cdot r+a_{1}&a_{0}+b_{0}\cdot r\\&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=R\\\end{array}}$

I valori $b_{n-1},b_{n-2},\dots ,b_{0}$ sono i coefficienti del polinomio risultante $Q(x)$, il cui grado sarà inferiore di uno a quello di $P(x)$, invece $R$ è il resto della divisione.

Un esempio numerico viene fornito più sotto.

Usi della regola

La regola di Ruffini ha varie applicazioni pratiche, molte di esse si basano sulla divisione semplice (come mostrato sotto) o sulle estensioni usuali che seguono.

Divisione polinomiale per x − r

Ecco un esempio di divisione polinomiale, con tutti i passaggi evidenziati.

Siano

$P(x)=2x^{3}-5x^{2}-x+6,$

$A(x)=x+1.$

Vogliamo dividere $P(x)$ per $A(x)$ usando la regola di Ruffini. Poiché $A(x)$ non è della forma $x-r$, ma piuttosto $x+r$, è sufficiente riscrivere $A(x)$ come

$A(x)=x+1=x-(-1).$

Applichiamo ora l'algoritmo.

1. Scriviamo i coefficienti di $P(x)$ e $r$:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &&&&\\\end{array}}$

2. Copiamo il primo coefficiente sotto:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}$

3. Moltiplichiamo il numero più a destra sotto la riga, per $r$, e scriviamolo al posto successivo sopra la riga:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&&&\\\end{array}}$

4. Sommiamo i valori della seconda colonna dopo la riga verticale:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&&\\\hline &+2&-7&&\\\end{array}}$

5. Ripetiamo i passi 3 e 4 fino alla fine:

   ${\begin{array}{c|c c c|c}&+2&-5&-1&+6\\-1&&-2&7&-6\\\hline &+2&-7&+6&0\\\end{array}}$

Abbiamo ottenuto, quindi, che:

$P(x)=A(x)\cdot Q(x)+R,$

dove

$Q(x)=2x^{2}-7x+6,$

$R=0.$

Divisione polinomiale per ax − k

Applicando una facile trasformazione, la regola di Ruffini si può generalizzare anche per le divisioni di un polinomio per un binomio qualsiasi di primo grado $A(x)=ax-k$. Infatti, considerando la relazione fondamentale

$P(x)=(ax-k)\cdot Q(x)+R(x),$

dividendo tutto per $a$ (sicuramente diverso da $0$) otteniamo

${\frac {P(x)}{a}}={\frac {(ax-k)\cdot Q(x)}{a}}+{\frac {R(x)}{a}}.$

Detti ${\frac {P(x)}{a}}=P'(x)$ e ${\frac {R(x)}{a}}=R'(x)$ otteniamo:

$P'(x)=(x-{\frac {k}{a}})\cdot Q(x)+R'(x).$

Dunque il quoziente richiesto $Q(x)$ è anche il quoziente della divisione di $P'(x)$ per $x-k/a$, che si può ottenere con la regola appena esposta. Per trovare il resto richiesto $R(x)$ basterà moltiplicare il resto ottenuto $R'(x)$ per $a$.

Trovare le radici di un polinomio

Il teorema delle radici razionali afferma che se un polinomio

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_{0}$

ha coefficienti interi, le sue radici razionali sono sempre della forma $p/q$, dove $p$ e $q$ sono interi coprimi, $p$ è un divisore (non necessariamente positivo) di $a_{0}$ e $q$ è un divisore di $a_{n}$. La ricerca delle radici razionali riguarderà sempre un numero finito di valori dato che $a_{n}$ e $a_{0}$ hanno ciascuno un numero finito di divisori interi. Ad esempio, se il nostro polinomio è

$P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2,$

le radici razionali possibili appartengono all'insieme dei divisori interi di $-2/1$ che sarà:

$\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.$

Questo è un esempio semplice, perché il polinomio è monico (cioè, $a_{n}=1$); per i polinomi non monici, l'insieme delle possibili radici potrebbe includere alcune frazioni. In ogni caso, per i polinomi monici, ogni radice razionale è un intero, e quindi ogni radice intera deve essere un divisore del termine costante.

Pertanto, provando a porre $r$ uguale a ciascuna delle radici possibili, si può tentare di dividere il polinomio per $x-r$. Se il polinomio quoziente risultante ha resto 0, abbiamo trovato una radice. Questo metodo però non permette di trovare radici irrazionali o complesse.

È evidente che se $a_{i}>0$ per $i=0,1,2,\ldots ,n$, cioè se tutti i termini del polinomio $P(x)$ hanno coefficiente positivo, allora le uniche radici possibili per cui provare a dividere il polinomio sono quelle di segno negativo, inteso che nel polinomio vi sia almeno un termine con potenza di $x$ ed $n$ dispari.

Se, per esempio, volessimo trovare le radici del precedente polinomio $P(x)$, dovremmo dividere $P(x)$ per il binomio $x-a$ dove $a$ è una delle radici possibili. Se il resto è uguale a $0$, il numero utilizzato è una radice:

${\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+1&&+1&-3&+2\\\hline &+1&-3&+2&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-1&&-1&+5&-10\\\hline &+1&-5&+10&-12\\\end{array}}$

${\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\+2&&+2&-4&+2\\\hline &+1&-2&+1&0\\\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc|c}&+1&-4&+5&-2\\-2&&-2&+12&-34\\\hline &+1&-6&+17&-36\\\end{array}}$

$x_{1}=+1$ e $x_{3}=+2$ sono radici, mentre $x_{2}=-1$ e $x_{4}=-2$ non lo sono.

Possiamo quindi scrivere il polinomio scomposto:

$P(x)=x^{3}-4x^{2}+5x-2=(x-1)(x^{2}-3x+2)=(x-2)(x^{2}-2x+1)=(x-1)(x-1)(x-2).$

Uguagliando $P(x)=0$ per trovare le radici del polinomio, otteniamo che queste sono $x=1$ (con molteplicità $2$) e $x=2.$

Fattorizzazione polinomiale

Dopo avere usato il metodo "$p/q$" mostrato sopra (o un qualunque altro modo) per trovare tutte le radici su $\mathbb {Q}$ di un certo polinomio, è semplice sfruttarle per fattorizzare parzialmente il polinomio stesso: a ogni fattore $x-r$ che divide un polinomio dato corrisponde una radice $r$, e viceversa.

Quindi, se abbiamo il polinomio:

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

e abbiamo trovato come sue radici:

$R=\left\{\alpha \in \mathbb {Q} :P(\alpha )=0\right\},$

consideriamo il prodotto:

$Q(x)=a_{n}{\prod _{r\in R}(x-r)}.$

Per il teorema fondamentale dell'algebra, $Q(x)$ sarebbe uguale a $P(x)$ se tutte le radici di $P(x)$ fossero razionali. Ma è assai probabile che $Q(x)$ non sia uguale a $P(x)$, dato che $P(x)$ potrebbe avere anche radici irrazionali o complesse. Consideriamo allora il polinomio quoziente

$S(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}.$

Se $S(x)=1$, allora $Q(x)=P(x)$. Altrimenti, $S(x)$ sarà un polinomio, per la precisione un altro fattore di $P(x)$ che non ha radici razionali in $\mathbb {R}$. Dunque

$P(x)=Q(x)\cdot S(x),$

è una fattorizzazione completa di $P(x)$ su $\mathbb {Q}$ se $S(x)=1,$ altrimenti sarà una fattorizzazione completa su $\mathbb {Q}$, ma ci saranno altri fattori su $\mathbb {R}$ o su $\mathbb {C}$.

Primo esempio: nessun resto

Sia

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2.$

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di $P(x)$ sono:

$R=\left\{+1,-1,-2\right\}.$

Pertanto, il prodotto di ($x$ − ciascuna radice) è

$Q(x)=1(x-1)(x+1)(x+2),$

$P(x)/Q(x)$ dà

$S(x)=1.$

E così il polinomio fattorizzato è $P(x)=Q(x)\cdot 1=Q(x)$:

$P(x)=(x-1)(x+1)(x+2).$

Secondo esempio: con resto

Sia

$P(x)=2x^{4}-3x^{3}+x^{2}-2x-8.$

Con i metodi descritti sopra, troviamo che le radici razionali di $P(x)$ sono:

$R=\left\{-1,+2\right\}.$

Pertanto, il prodotto di ($x$ − ciascuna radice) è

$Q(x)=(x+1)(x-2),$

$P(x)/Q(x)$ dà

$S(x)=2x^{2}-x+4.$

Dato che $S(x){\neq }1$, il polinomio fattorizzato sui razionali è $P(x)=Q(x)\cdot S(x)$:

$P(x)=(x+1)(x-2)(2x^{2}-x+4).$

Bibliografia

• Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 3), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1711-8.
• Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.

Voci correlate

• Teorema di Ruffini
• Radice (matematica)
• Divisione dei polinomi
• Criterio di Cartesio
• Criterio di Routh-Hurwitz
• Criterio di Jury
• Regola di Horner

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Regola di Ruffini, su MathWorld, Wolfram Research.