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In matematica, la condizione di Holder è una generalizzazione della condizione di Lipschitz.

Si verificano le seguenti relazioni di inclusione per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianità ⊆ continuità uniformecontinuità; con 0 < α ≤1.

Indice

La condizioneModifica

Una funzione di variabile reale   soddisfa la condizione di Hölder di ordine  , con  , se esiste una costante   tale che:[1] per ogni  

 

Il numero   si dice esponente di Hölder, mentre   si dice Hölder-continua o hölderiana.

La condizione, che può essere definita anche per funzioni tra spazi metrici, generalizza la lipschitzianità, che si realizza quando  . Se  , tale condizione si riduce alla limitatezza della funzione. Le uniche funzioni che soddisferebbero la condizione di Hölder per   sono quelle costanti, dunque tale caso è di poco interesse.

Se   ogni funzione hölderiana con esponente   e definita su un sottoinsieme limitato di   è anche hölderiana con esponente  . Dunque tutte le funzioni lipschitziane sono  -hölderiane.

Spazio delle funzioni holderianeModifica

Lo spazio di Hölder   delle funzioni definite nel sottoinsieme aperto   dello spazio euclideo  , che insieme con le loro derivate fino all'ordine n-esimo soddisfano la condizione di Hölder con esponente  , è uno spazio vettoriale topologico e possiede seminorma data da:

 

se   e:

 

se  , dove   varia tra i multiindici.

Compattezza in spazi di HölderModifica

Sia   un sottoinsieme limitato di qualche spazio metrico totalmente limitato e siano   due esponenti di Hölder. Allora, si verifica l'inclusione dei corrispondenti spazi di Hölder:

 

che è continua dal momento che la disuguaglianza:

 

vale per tutte le  . Inoltre, tale inclusione è compatta, ovvero gli insiemi limitati nella norma   sono relativamente compatti nella norma  . Si tratta di una conseguenza del teorema di Ascoli-Arzelà: infatti, sia   una successione in  . Grazie al risultato di Ascoli-Arzelà si può assumere senza perdita di generalità che   uniformemente e anche che  . Allora:

 

poiché

 

e quindi si ha:

 

EsempiModifica

  • La funzione   definita in   è hölderiana per ogni  .

NoteModifica

  1. ^ P. M. Soardi, p. 198.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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