Teorema di diagonalizzabilità

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In algebra lineare, il teorema di diagonalizzabilità è uno strumento che fornisce una condizione necessaria e sufficiente affinché una matrice quadrata sia diagonalizzabile.

Il teoremaModifica

Sia   una matrice quadrata di ordine   con valori in un campo   (come il campo dei numeri reali o complessi). Il polinomio caratteristico di   è un polinomio di grado n definito nel modo seguente:

 

Le radici   di   appartenenti al campo   sono gli autovalori di  .[1] Ogni autovalore   ha una sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico, detta molteplicità algebrica.[2] Un autovalore con molteplicità algebrica 1 si dice semplice.

L'autospazio   relativo all'autovalore   è l'insieme di tutti gli autovettori aventi   come autovalore, più il vettore nullo:[3]

 

Si dice molteplicità geometrica (o nullità) di   la dimensione dell'autospazio   relativo a  . Un autovalore per cui vale l'uguaglianza tra le due molteplicità (algebrica e geometrica) si dice regolare.

EnunciatoModifica

Il teorema di diagonalizzabilità afferma che   è diagonalizzabile se e solo se sono verificate entrambe le seguenti condizioni :

  • La somma delle molteplicità algebriche dei suoi autovalori è  .
  • Le molteplicità algebriche e geometriche di ogni autovalore sono coincidenti.

Oppure equivalentemente, che   è diagonalizzabile se e solo se la somma delle molteplicità geometriche dei suoi autovalori è  .

ConseguenzeModifica

Il primo punto del teorema implica che il polinomio caratteristico abbia tutte le radici nel campo, ovvero che si possa fattorizzare come prodotto di polinomi di grado 1. Inoltre, dette   e   rispettivamente la molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore  , per ogni autovalore valgono le seguenti disuguaglianze:

 

Di conseguenza, il teorema di diagonalizzabilità ha come corollario i fatti seguenti:

  • Se il polinomio caratteristico ha   radici distinte nel campo,   è diagonalizzabile.
  • Se esiste un autovalore   tale che   allora   non è diagonalizzabile.
  • La forma diagonale di un endomorfismo non è univocamente individuata ma è definita a meno di permutazioni sulla diagonale principale.

EsempiModifica

Verifichiamo che la seguente matrice non è diagonalizzabile:

 

Il suo polinomio caratteristico   ha una sola radice (che è 1 poiché   ), con molteplicità algebrica 2. Quindi il primo punto del teorema è soddisfatto. A questo punto la molteplicità geometrica dell'autovalore 1 può essere solo 1 o 2. Questa è uguale alla dimensione del nucleo di   La matrice   ha rango 1, quindi per il teorema del rango il suo nucleo ha dimensione   Quindi la molteplicità geometrica è 1, quella algebrica è 2, pertanto la matrice non è diagonalizzabile.

NoteModifica

  1. ^ Lang, p. 228.
  2. ^ Lang, p. 230.
  3. ^ Per definizione, un autovettore è sempre diverso da zero. Per questo motivo si aggiunge il vettore nullo nella definizione di autospazio.

BibliografiaModifica

  • Serge Lang, Algebra lineare, Torino, Bollati Boringhieri, 1992, ISBN 88-339-5035-2.

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

  • unito.it - diagonalizzazione (PDF), su www2.dm.unito.it. URL consultato il 12 febbraio 2014 (archiviato dall'url originale il 22 febbraio 2014).
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