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Meccanica hamiltoniana

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In fisica e matematica, in particolare nella meccanica razionale e nell'analisi dei sistemi dinamici, la meccanica hamiltoniana è una riformulazione della meccanica classica introdotta nel 1833 da William Rowan Hamilton a partire dalla meccanica lagrangiana, descritta inizialmente da Joseph-Louis Lagrange nel 1788.

La dinamica di un sistema fisico è caratterizzata dal fatto che il moto di un corpo tende a rendere stazionaria, cioè a variazione nulla, una quantità astratta detta azione, un funzionale definito come l'integrale nel tempo della Lagrangiana. Solitamente questo equivale a minimizzare l'energia del sistema dinamico considerato, che è la somma dell'energia potenziale più l'energia cinetica.

La meccanica hamiltoniana, operando una differente scelta di coordinate per generare lo spazio delle fasi, riscrive le equazioni del moto di Eulero-Lagrange, che erano alla base della descrizione di Lagrange, nella forma di equazioni di Hamilton e fa corrispondere all'energia totale del sistema una funzione scalare detta Hamiltoniana.

La meccanica hamiltoniana introduce un formalismo che sta alla base della meccanica statistica e della meccanica quantistica, consentendo di formulare in maniera agevole la compatibilità tra probabilità e dinamica. Un altro esempio di una teoria fisica fondata sulla meccanica hamiltoniana è la teoria delle perturbazioni.

Dalla meccanica lagrangiana alla meccanica hamiltonianaModifica

Nella descrizione lagrangiana, le coordinate del sistema dinamico nello spazio degli stati, usate per identificare un punto materiale in moto, sono le sue coordinate generalizzate   e le corrispondenti velocità generalizzate  , dove il punto denota la derivata totale temporale. Pertanto il sistema dinamico costituito dal punto in moto viene descritto dalla funzione:

 

In coordinate cartesiane, se il moto è senza vincoli tale scrittura coincide con l'equazione di Newton:

 

con   e  , dove   la forza e   la massa del punto.

L'equazione del moto nello spazio degli stati sono le equazioni di Eulero-Lagrange:

 

dove   è la Lagrangiana, la differenza tra l'energia cinetica   e energia potenziale  .

L'approccio seguito dalla meccanica hamiltoniana per la costruzione dello spazio delle fasi utilizza un diverso sistema di coordinate, nel quale alle coordinate generalizzate   vengono affiancate, anziché le velocità generalizzate  , i momenti lineari coniugati  . Il momento lineare coniugato alla coordinata   di un corpo in moto è la derivata parziale:

 

ovvero:

 

Lo spazio delle coppie   è lo spazio delle fasi. In coordinate cartesiane la definizione di momento lineare coniugato, che è valida per un più generico sistema di coordinate, è equivalente alla quantità di moto:

 

Nelle nuove coordinate   le equazioni di Eulero-Lagrange assumono la forma compatta:

 

ovvero:

 

Hamiltoniana ed equazioni di HamiltonModifica

La trasformata di Legendre della Lagrangiana, nelle coordinate canoniche  , è l'Hamiltoniana:

 

con  . Nel caso particolarmente importante di sistema dinamico con vincoli indipendenti dal tempo, l'Hamiltoniana coincide con l'energia totale del sistema, ed è pertanto la somma tra l'energia cinetica e potenziale:

 

con l'energia cinetica espressa in generale da:

 

Analizzare l'evoluzione temporale del sistema a partire da   coinvolge le equazioni di Hamilton:[1][2][3]

 

una riscrittura delle equazioni di Eulero-Lagrange. A partire da esse vengono quindi scritte le equazioni del moto nel modello hamiltoniano. Le equazioni di Hamilton sono simmetriche rispetto a   e  , cioè scambiare   con   le lascia invariate. Più in generale, vengono dette coordinate canoniche tutte le variabili generalizzate le cui trasformazioni, dette trasformazioni canoniche, lasciano inalterata la forma delle equazioni di Hamilton. Esse sono alla base della descrizione di molti fenomeni naturali.

In meccanica quantistica la funzione hamiltoniana, chiamata operatore hamiltoniano, è particolarmente importante e ad essa si fa corrispondere l'energia osservabile, ad esempio l'energia di particelle subatomiche o sistemi di particelle.

Sistema dinamico hamiltonianoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Campo vettoriale hamiltoniano.

La meccanica hamiltoniana, interessandosi di oggetti in moto, rientra nell'ambito dell'analisi dei sistemi dinamici, con la quale condivide il formalismo matematico. Le equazioni di Hamilton hanno del resto la forma caratteristica di un sistema dinamico continuo:

 

con   un campo vettoriale nello spazio delle fasi, anche nel caso in cui le coordinate   non sono ortogonali ma sono ad esempio polari o cilindriche. Al campo   è associata l'Hamiltoniana  , ovvero:

 

dove:

 

è la matrice simplettica standard e   è il gradiente:

 

Il campo   così definito è il campo vettoriale hamiltoniano, ed è solenoidale ( ). L'importanza della scelta delle coordinate hamiltoniane  , al posto di quelle lagrangiane  , è legata al fatto che - per come sono definite - le coordinate canoniche si comportano, in un certo senso, come coordinate cartesiane ortogonali. Difatti, per una arbitraria scelta delle   (ad esempio, polari o cilindriche), utilizzando i momenti lineari coniugati   il sistema dinamico ha ancora la forma  . Ciò consente alle equazioni di Hamilton di avere una struttura particolarmente simmetrica.

Costanti del motoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale primo e Teorema di Noether.

Un integrale primo del moto per un sistema dinamico con Hamiltoniana   è una quantità   definita sullo spazio delle fasi il cui valore rimane costante:

 

lungo le soluzioni dell'equazione del moto   del sistema. Si ricava con brevi manipolazioni matematiche che la derivata totale ha la particolare forma:

 

dove:

 

è il campo vettoriale hamiltoniano definito sopra.

Utilizzando la parentesi di Poisson di   con l'Hamiltoniana la precedente si può scrivere in modo esplicito come:

 

ovvero:

 

Nello specifico, se   non dipende dal tempo allora   se e solo se   è un integrale primo del moto.

Derivazione delle equazioni di HamiltonModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Equazioni di Hamilton.

Le equazioni di Hamilton si possono ricavare considerando l'1-forma differenziale associata alla Lagrangiana:

 

Sostituendo  :

 

che, sfruttando la relazione  , si può riscrivere come:

 

Riorganizzando i termini:

 

Il membro di sinistra è l'Hamiltoniana, quindi si ha:

 

Scrivendo allora, come fatto per  , l'1-forma differenziale associata ad   direttamente rispetto al tempo:

 

Dal momento che le ultime due relazioni devono essere uguali si ha, uguagliando i termini:

 

dove la seconda relazione è una delle due equazioni di Hamilton; l'altra equazione di Hamilton si ricava dalla prima relazione sfruttando le equazioni di Eulero-Lagrange:

 

in modo che diventi:

 

NoteModifica

  1. ^ Fitzpatrick, R., 2.7 Poincaré invariants (PDF), pp. 26-27. URL consultato il 27 ottobre 2014 (archiviato dall'url originale il 26 ottobre 2014).
  2. ^ L.N. Hand, J.D. Finch, Analytical Mechanics, Cambridge University Press, 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
  3. ^ Roger Penrose, The Road to Reality, Vintage books, 2007, ISBN 0-679-77631-1

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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