Punto di equilibrio iperbolico

In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico o punto fisso iperbolico di un sistema dinamico descritto dall'equazione autonoma:

${\dot {x}}=f(x)$

è un punto di equilibrio $x_{0}$ tale per cui, se:

${\dot {u}}=Df(x_{0})u$

è la linearizzazione del sistema in un intorno di $x_{0}$, nessuno degli autovalori della matrice $Df(x_{0})$ ha parte reale nulla.

Si tratta di un punto di equilibrio che non possiede nessuna varietà centrale; in prossimità di esso esistono una varietà stabile ed una instabile.

La parola "iperbolico" è dovuta al fatto che nel caso bidimensionale le triettorie vicine al punto iperbolico giacciono su tratti di iperbole centrate in quel punto rispetto ad un adeguato sistema di riferimento. A volte per ottenere questo sistema di riferimento si deve passare attraverso una rotazione nello spazio immaginario.

Traiettorie vicino ad un punto di equilibrio iperbolico per un flusso bidimensionale

Descrizione

Sia $F:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ un campo vettoriale di classe $C^{1}$ con un punto di equilibrio (anche detto punto critico) $p$, ovvero un punto tale che:

$F(p)=0$

Sia $J_{F}(p)$ la matrice Jacobiana di $F$ al punto $p$. Se $J_{F}(p)$ non ha autovalori con parte reale nulla, allora $p$ è iperbolico.

Una soluzione $\phi _{t}(x_{0})$ dell'equazione ${\dot {x}}=f(x)$ che definisce il sistema (in generale non lineare), con $f\in C^{1}$, è l'evoluzione del sistema a partire dal punto iniziale $x_{0}$. Si tratta del flusso del sistema, la cui immagine è l'orbita per $x_{0}$. Il teorema di Hartman-Grobman afferma che un sistema dinamico in un intorno di un punto di equilibrio iperbolico è topologicamente coniugato alle traiettorie del sistema dinamico linearizzato. In altri termini, se l'origine è un punto di equilibrio iperbolico allora esiste un omeomorfismo $H$ che in un intorno dell'origine mappa le orbite del sistema non lineare in quelle del sistema lineare mantenendo la parametrizzazione temporale:

$H\circ \phi _{t}(x_{0})=e^{At}H(x_{0})$

Esempio

Si consideri il seguente sistema non lineare:

${\frac {dx}{dt}}=y$

${\frac {dy}{dt}}=-x-x^{3}-\alpha y\qquad \alpha \neq 0$

Il punto $(0,0)$ è il solo punto di equilibrio. La linearizzazione all'equilibrio è:

$J(0,0)={\begin{pmatrix}0&1\\-1&-\alpha \end{pmatrix}}$

Gli autovalori della matrice sono:

$\lambda _{1,2}={\frac {-\alpha \pm {\sqrt {\alpha ^{2}-4}}}{2}}$

e hanno parte reale non nulla per $\alpha \neq 0$. Si tratta quindi di un punto di equilibrio iperbolico; il sistema linearizzato avrà in questo modo lo stesso comportamento del sistema non lineare nell'intorno di $(0,0)$. Quando $\alpha =0$, il sistema avrà un punto di equilibrio non iperbolico in $(0,0)$.

Bibliografia

• (EN) Edward Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1994.
• (EN) Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

Voci correlate

• Punto di equilibrio
• Sistema dinamico lineare
• Teorema di Hartman-Grobman
• Varietà centrale

Collegamenti esterni

• Scholarpedia curata da Eugene M. Izhikevich.