Punto di equilibrio iperbolico

In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico o punto fisso iperbolico di un sistema dinamico descritto dall'equazione autonoma:

è un punto di equilibrio tale per cui, se:

è la linearizzazione del sistema in un intorno di , nessuno degli autovalori della matrice ha parte reale nulla.[1]

Si tratta di un punto di equilibrio che non possiede nessuna varietà centrale; in prossimità di esso esistono una varietà stabile ed una instabile.

La parola "iperbolico" è dovuta al fatto che nel caso bidimensionale le triettorie vicine al punto iperbolico giacciono su tratti di iperbole centrate in quel punto rispetto ad un adeguato sistema di riferimento. A volte per ottenere questo sistema di riferimento si deve passare attraverso una rotazione nello spazio immaginario.

Traiettorie vicino ad un punto di equilibrio iperbolico per un flusso bidimensionale

DescrizioneModifica

Sia   un campo vettoriale di classe   con un punto di equilibrio (anche detto punto critico)  , ovvero un punto tale che:

 

Sia   la matrice Jacobiana di   al punto  . Se   non ha autovalori con parte reale nulla, allora   è iperbolico.[2]

Una soluzione   dell'equazione   che definisce il sistema (in generale non lineare), con  , è l'evoluzione del sistema a partire dal punto iniziale  . Si tratta del flusso del sistema, la cui immagine è l'orbita per  . Il teorema di Hartman-Grobman afferma che un sistema dinamico in un intorno di un punto di equilibrio iperbolico è topologicamente coniugato alle traiettorie del sistema dinamico linearizzato. In altri termini, se l'origine è un punto di equilibrio iperbolico allora esiste un omeomorfismo   che in un intorno dell'origine mappa le orbite del sistema non lineare in quelle del sistema lineare mantenendo la parametrizzazione temporale:

 

EsempioModifica

Si consideri il seguente sistema non lineare:

 
 

Il punto   è il solo punto di equilibrio. La linearizzazione all'equilibrio è:

 

Gli autovalori della matrice sono:

 

e hanno parte reale non nulla per  . Si tratta quindi di un punto di equilibrio iperbolico; il sistema linearizzato avrà in questo modo lo stesso comportamento del sistema non lineare nell'intorno di  . Quando  , il sistema avrà un punto di equilibrio non iperbolico in  .

NoteModifica

  1. ^ W.S. Koon - Introduction to Autonomous Equations
  2. ^ Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

BibliografiaModifica

  • (EN) Edward Ott, Chaos in Dynamical Systems, Cambridge University Press, 1994.
  • (EN) Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin/Cummings Publishing, Reading Mass. ISBN 0-8053-0102-X

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