Raggio di iniettività

In matematica, e più precisamente in geometria differenziale, il raggio di iniettività è un numero reale positivo che misura il "grado di collassamento" di una varietà riemanniana in un punto o globalmente.

DefinizioneModifica

Sia   una varietà riemanniana. Per ogni punto   di   è definita la mappa esponenziale

 

su un insieme aperto   dello spazio tangente   in  , contenente l'origine.

Sullo spazio tangente   è definito un prodotto scalare, dato dal tensore metrico della varietà. Risulta quindi definita la palla di raggio   centrata nell'origine

 

Il raggio di iniettività di   in   è il massimo   tale che la mappa

 

è iniettiva. Viene spesso indicato con

 

Il raggio di iniettività di   è quindi definito come l'estremo inferiore di tutti i raggi di iniettività nei punti:

 

ProprietàModifica

Raggio locale positivoModifica

Il differenziale di   è invertibile. Per il teorema di invertibilità locale, la funzione è quindi un diffeomorfismo locale nell'origine: il raggio di iniettività   è quindi strettamente positivo in ogni punto  .

GeodeticheModifica

Se la varietà è completa, il raggio di iniettività   è pari a metà della minima lunghezza di una geodetica chiusa passante per  .

Compattezza e raggio globaleModifica

Se la varietà   è compatta, il raggio di iniettività globale   è maggiore di zero. Qualsiasi geodetica chiusa ha quindi lunghezza maggiore di  .

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

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