Teorema della funzione inversa

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In matematica, il teorema della funzione inversacondizioni sufficienti affinché una funzione possegga una inversa locale, cioè affinché essa sia invertibile in un appropriato intorno di un punto del suo dominio.

Il teorema può essere enunciato per funzioni reali o vettoriali e generalizzato per spazi di Banach e varietà differenziabili.

Il teoremaModifica

Sia   un aperto e   un punto di  . Se   è una funzione di classe C1 tale che il determinante jacobiano di   in   è non nullo:

 

o equivalentemente se il differenziale di   in  :

 

è un isomorfismo lineare, allora esiste un intorno   di   tale che la restrizione di   su  :

 

è invertibile con   di classe   su   Inoltre per ogni   vale la relazione:

 

Una funzione differenziabile che possiede inversa locale differenziabile si dice un diffeomorfismo locale.

EsempioModifica

La funzione definita sullo spazio euclideo bidimensionale:

 

possiede matrice jacobiana:

 

che ha determinante  , non nullo se il punto   non è l'origine. Pertanto   è un diffeomorfismo locale in ogni punto di   diverso dall'origine. Ma   non è un diffeomorfismo poiché non è iniettiva: ad esempio  .

GeneralizzazioniModifica

Varietà differenziabiliModifica

Il teorema si estende al caso di funzioni tra due varietà differenziabili   ed  , richiedendo la condizione che il differenziale di  :

 

sia un isomorfismo lineare tra gli spazi tangenti.

Spazi di BanachModifica

Nel contesto degli spazi di Banach, il teorema assume la seguente forma: se   è una mappa tra spazi di Banach differenziabile con continuità in un intorno dello 0 e il differenziale   è un isomorfismo lineare limitato di   in  , allora   è localmente invertibile in 0 mediante una funzione differenziabile.

BibliografiaModifica

  • Nicola Fusco, Paolo Marcellini, Carlo Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Editore Liguori, ISBN 88-207-3137-1
  • Edoardo Sernesi, Geometria 2, Bollati Boringhieri, ISBN 88-339-5548-6
  • (EN) Renardy, Michael and Rogers, Robert C., An introduction to partial differential equations, Texts in Applied Mathematics 13, Second, New York, Springer-Verlag, 2004, pp. 337–338, ISBN 0-387-00444-0.
  • (EN) Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics, Third, New York, McGraw-Hill Book Co., 1976, pp. 221–223.

Voci correlateModifica

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