Gruppo unitario speciale

gruppo delle matrici unitarie con determinante 1
(Reindirizzamento da SU(2))

In matematica, il gruppo unitario speciale di grado è il gruppo delle matrici unitarie con determinante dotato della consueta moltiplicazione.

Il gruppo speciale unitario, indicato con , è un sottogruppo del gruppo unitario , che include tutte le matrici unitarie, che è a sua volta un sottogruppo del gruppo lineare generale .

Il caso più semplice, ovvero , è un gruppo banale, contenente cioè un solo elemento. Il gruppo è isomorfo rispetto al gruppo dei quaternioni di valore assoluto pari a 1, ed è perciò diffeomorfo alla sfera in quattro dimensioni (definita 3-sfera). Poiché quaternioni unitari possono essere usati per rappresentare rotazioni nello spazio tridimensionale (a meno del segno), l'omeomorfismo è suriettivo da sul gruppo ortogonale speciale SO(3) il cui nucleo è .

ProprietàModifica

Il gruppo speciale unitario   è un gruppo di Lie di dimensione  . Topologicamente, è compatto e semplicemente connesso. Da un punto di vista algebrico, è un gruppo di Lie semplice (ovvero la sua algebra è "semplice"). Il centro di   è isomorfo al gruppo ciclico Zn. Il suo gruppo di automorfismi esterni, per  , è Z2, mentre quello di   è il gruppo banale.

Algebra di LieModifica

L'algebra di Lie   di   consiste di matrici anti-hermitiane   con traccia zero.[1] Questa algebra di Lie (reale) ha dimensione  .

Rappresentazione fondamentaleModifica

Nel contesto della fisica, è comune identificare l'algebra di Lie con lo spazio di matrici hermitiane a traccia nulla (non antihermitiane). Ciò equivale a dire che l'algebra in fisica e l'algebra in matematica differiscono di un fattore  . Con questa convenzione, si può quindi scegliere generatori   che sono matrici   complesse hermitiane a traccia nulla, dove:

 

dove le   sono le costanti di struttura e sono antisimmetrici in tutti gli indici, mentre i coefficienti   sono simmetrici.

Di conseguenza, l'anticommutatore e il commutatore sono:

 

Il fattore   nelle relazioni di commutazione deriva dalla convenzione fisica mentre non è presente nella convenzione matematica.

La condizione di normalizzazione più comune è:

 

Rappresentazione aggiuntaModifica

Nella rappresentazione aggiunta  -dimensionale, i generatori sono rappresentati da matrici  , i cui elementi sono definiti dalle costanti di struttura stesse:

 

Struttura dell'algebraModifica

La complessificazione dell'algebra di Lie   è  , lo spazio di tutte le matrici complesse   con traccia nulla.[2] Una sottoalgebra di Cartan consiste quindi delle matrici diagonali con traccia nulla,[3] che si identifica con i vettori in   tali che la somma dei loro elementi sia zero. Di conseguenza, le radici sono tutte le   permutazioni di  .

Una scelta di radici semplici è data da:

 

Pertanto   ha rango   e il suo diagramma di Dynkin è quello di  , cioè una catena lineare di   nodi.[4] La matrice di Cartan è

 

Il suo gruppo di Weyl o gruppo di Coxeter è il gruppo simmetrico.

Il gruppo SU(2)Modifica

Il gruppo SU(2) è dato dalla seguente definizione,[5]

 

dove la barra indica l'operazione di coniugazione complessa.

Diffeomorfismo con la 3-sferaModifica

Considerando   come coppia in   dove   e  , allora l'equazione   diventa

 

che equivale all'equazione della 3-sfera S3. Questo può essere anche visto usando un embedding: la mappa

 

dove   indica l'insieme delle matrici complesse 2 per 2, è una mappa lineare reale iniettiva (considerando   diffeomorfo a   e   diffeomorfo a  ). Quindi, la restrizione di   alla 3-sfera (siccome il modulo è 1), indicata con  , è un embedding della 3-sfera su una sottovarietà compatta di  , nello specifico  .

Pertanto, come varietà,   è diffeomorfa a SU(2), che mostra che SU(2) è semplicemente connesso e che   può essere munita con la struttura di un gruppo di Lie connesso e compatto.

Isomorfismo con i quaternioni unitariModifica

La matrice complessa

 

può essere mappata a un quaternione come:

 

e la mappa che li lega è un isomorfismo. Inoltre, il determinante della matrice è la norma al quadrato del corrispondente quaternione. Chiaramente, una matrice in SU(2) ha questa forma e, siccome ha determinante 1, il corrispondente quaternione ha norma 1. Pertanto SU(2) è isomorfo ai quaternioni.[6]

Algebra di LieModifica

L'algebra di Lie di SU(2) consiste delle matrici   antihermitiane a traccia nulla.[1] Esplicitamente, ciò significa che

 

L'algebra di Lie è quindi generata dalle seguenti matrici,

 

che hanno la forma dell'elemento generico del gruppo e sono legati alle matrici di Pauli.dalle formule   e  

Poiché soddisfano le relazioni dei quaternioni     e  , il commutatore è quindi specificato da

 

Questa rappresentazione è usata comunemente in meccanica quantistica per rappresentare lo spin delle particelle fondamentali come l'elettrone.

Il gruppo SU(3)Modifica

Gruppo di LieModifica

  è un gruppo di Lie semplice di dimensione 8 contenente tutte le matrici unitarie 3×3 con determinante 1. È un gruppo compatto e semplicemente connesso.[7] La teoria delle rappresentazioni è ampiamente studiata e compresa.[8]

Algebra di LieModifica

I generatori  , dell'algebra di Lie   del gruppo   nella cosiddetta rappresentazione "definente" (anche fondamentale, hermitiana o della fisica delle particelle), sono

 

dove   indica le matrici di Gell-Mann, l'analogo per SU(3) delle matrici di Pauli per SU(2):

 

In quanto generatori, combinazioni lineari di queste   coprono tutte le matrici hermitiane a traccia nulla  . Si osservi che  ,   e   sono antisimmetriche.

I generatori soddisfano le seguenti relazioni di commutazione e anticommutazione

 

derivate dalla seguente relazione per le matrici di Gell-Mann,

 .

I coefficienti   sono le costanti di struttura, determinate da

 

mentre tutte le altre   che non si ottengono da queste tramite permutazioni sono nulle. In generale, sono nulle a meno che contengano un numero di indici dell'insieme {2, 5, 7}, per cui meno di 16 di tutte le   sono non nulle.

I coefficienti simmetrici   assumono i valori:

 

e sono nulli se il numero di indici dell'insieme {2, 5, 7} è dispari.

Un generico elemento del gruppo generato da una matrice hermitiana 3×3 a traccia nulla  , con la normalizzazione  , può essere espresso come un polinomio di matrici del secondo ordine in  :[9]

 

dove

 

NoteModifica

  1. ^ a b Hall 2015, Proposizione 3.24.
  2. ^ Hall 2015, Sezione 3.6.
  3. ^ Hall 2015, Sezione 7.7.1.
  4. ^ Hall 2015, Sezione 8.10.1.
  5. ^ Hall 2015, Esercizio 1.5.
  6. ^ Savage, Alistair, LieGroups (PDF), su alistairsavage.ca, MATH 4144 notes.
  7. ^ Hall 2015, Proposizione 13.11.
  8. ^ Hall 2015, Capitolo 6.
  9. ^ S P Rosen, Finite Transformations in Various Representations of SU(3), in Journal of Mathematical Physics, vol. 12, n. 4, 1971, pp. 673–681, Bibcode:1971JMP....12..673R, DOI:10.1063/1.1665634.; Curtright, T L e Zachos, C K, Elementary results for the fundamental representation of SU(3), in Reports on Mathematical Physics, vol. 76, n. 3, 2015, pp. 401–404, Bibcode:2015RpMP...76..401C, DOI:10.1016/S0034-4877(15)30040-9, arXiv:1508.00868.

BibliografiaModifica

  • Brian C. Hall, Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, in Graduate Texts in Mathematics, vol. 222, 2ª ed., Springer, 2015, ISBN 978-3319134666.
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