Trasformata zeta

In analisi funzionale la trasformata zeta è una trasformata integrale che permette di trasformare una funzione discreta in una funzione più semplice, utilizzata principalmente nella teoria dei segnali.

StoriaModifica

Il concetto di trasformata zeta era già noto a Laplace, ma fu reintrodotto nel 1947 da W. Hurewicz come mezzo utile a risolvere equazioni alle differenze lineari a coefficienti costanti.[1] Il termine "trasformata zeta" fu coniato successivamente, nel 1952, da Ragazzini e Zadeh, ricercatori della Columbia University.[2][3] Il nome potrebbe esser derivato dall'idea che la lettera "z" sia somigliante a una lettera "s" campionata/digitalizzata, ove "s" è la lettera spesso usata per indicare la variabile indipendente nella trasformata di Laplace. Un'altra possibile origine è la presenza della lettera "Z" in entrambi i nomi Ragazzini e Zadeh. Questa nomenclatura diverge dall'usanza adottata in ambito scientifico, in cui si associa un metodo o un teorema col nome del principale sviluppatore. La terza probabile origine risiede nel dominio dei segnali discreti, che è solito essere   o un suo sottoinsieme.

DefinizioneModifica

Trasformata unilateraModifica

Sia   una successione di numeri complessi, indicizzata con  . La sua trasformata unilatera è definita come la serie formale di potenze complesse

 

In teoria dei segnali questa definizione è utilizzata per valutare la trasformata della risposta all'impulso unitario di un sistema causale tempo-discreto. Solitamente, in tale ambito la successione   rappresenta il campionamento regolare di un segnale   causale (i.e.   è nulla per tempi negativi), in corrispondenza dei tempi della forma  . Il passo di campionamento   è fissato. In altre parole

 

Regione di convergenzaModifica

La regione di convergenza è la parte di piano complesso dove la serie che definisce la trasformata della funzione converge:

 

La serie converge per valori di   in modulo maggiori del raggio di convergenza  , definito tramite il criterio della radice come:

 

Di applicazione meno generale è il criterio del rapporto, poiché esso richiede che i termini siano diversi da zero a partire da un   arbitrario in poi. Nondimeno, spesso è più agevole calcolare il limite tramite tale criterio piuttosto che utilizzando quello della radice. Nel caso entrambi i limiti esistano, essi coincidono. Non bisogna tuttavia prendere il reciproco del limite superiore, in quanto la trasformata zeta unilatera è una serie di potenze con esponente negativo.

Trasformata bilateraModifica

Talvolta, può essere utile definire la trasformata di una successione   indicizzata su  . In tal caso, la sua trasformata bilatera è definita come la serie formale di potenze

 

dove di nuovo   è complesso.

Formula di inversioneModifica

L'espressione della trasformata inversa, che può essere ottenuta utilizzando il teorema integrale di Cauchy, è la seguente:

 

dove   è un percorso antiorario chiuso che è situato nella regione di convergenza di   e circonda l'origine del piano. La formula precedente diventa particolarmente utile quando   ammette un'estensione a tutto il piano complesso, tranne al più un numero finito di singolarità isolate  . Infatti, in tal caso si può fare appello al Teorema dei Residui ed ottenere

 

Inoltre, nel caso in cui le singolarità isolate   siano dei poli, il calcolo dei residui nella formula precedente risulta particolarmente agevole, usando la formula

 

ove   è l'ordine del polo  .

Un caso di particolare importanza si presenta quando   è la circonferenza unitaria. In tal caso la trasformata zeta inversa assume la forma della trasformata di Fourier discreta inversa:

 

ProprietàModifica

Dominio del tempo Dominio Z Dimostrazione ROC
Notazione     ROC:  
Linearità       Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Espansione temporale  

  intero

     
Traslazione temporale      

Posto   si ha:
     
essendo   se  . Da cui:
 

ROC, eccetto   se   e   se  
Segnali periodici    
Scalatura nel dominio z        
Inversione temporale        
Coniugazione complessa       ROC
Parte reale     ROC
Parte immaginaria     ROC
Differenziazione       ROC
Convoluzione       Almeno la regione di intersezione di ROC1 e ROC2
Cross-correlazione     Almeno la regione di intersezione di ROC of   e  
Prima differenza     Almeno la regione di intersezione di ROC of X1(z) e  
Accumulazione      
Moltiplicazione     -
Teorema di Parseval    

Teorema del valore iniziale e del valore finaleModifica

Analogamente alla trasformata di Laplace, anche per la trasformata zeta si possono enunciare due teoremi che permettono di conoscere il valore iniziale e il valore finale del campionamento partendo dalla sua trasformata.

Il teorema del valore iniziale afferma che:

 

se   è causale (ovvero nulla per n negativi).

Se la successione   ammette limite finito, allora   è una funzione analitica all'esterno del disco di raggio   centrato nell'origine e il teorema del valore finale afferma che:

 

Il risultato è falso senza l'ipotesi che   ammetta limite, come si vede facilmente prendendo la successione  , la cui trasformata zeta è data da

 

Trasformata di alcune funzioni notevoliModifica

Siano:

  •  
  •  
Funzione,   Trasformata Z,   ROC
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

Relazione con la trasformata di LaplaceModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Laplace.

La trasformata zeta unilatera è la trasformata di Laplace di un segnale campionato in modo ideale con la sostituzione:

 

dove   è il periodo di campionamento, con   la frequenza di campionamento (misurata in campioni per secondo o in hertz).

Sia:

 

un treno di impulsi e sia:

 

la rappresentazione tempo-continua del segnale   ottenuto campionando  . La trasformata di Laplace di   è data da:

 

Si tratta della definizione della trasformata zeta unilatera della funzione tempo-discreta  , ovvero:

 

con la sostituzione  . Confrontando le ultime due relazioni si ottiene quindi la relazione tra la trasformata zeta unilatera e la trasformata di Laplace del segnale campionato:

 

Relazione tra il piano s e il piano zModifica

Per quanto detto la variabile s può essere riscritta utilizzando la rappresentazione rettangolare come:

 

L'ultima identità deriva dal fatto che l'esponenziale complesso è una funzione periodica di periodo i2π.

Da questa relazione si possono fare alcune considerazioni importanti

  • ogni punto sul piano s la cui parte immaginaria differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento viene trasformato nello stesso punto sul piano z
  • ogni punto sul piano s appartenente al semipiano negativo viene trasformato in un punto interno alla circonferenza di raggio 1 poiché  
  • ogni punto sul piano s appartenente al semipiano positivo viene trasformato in un punto esterno alla circonferenza di raggio unitario
  • ogni punto appartenente all'asse immaginario viene trasformato in un punto sulla circonferenza di raggio unitario

In virtù di queste considerazioni ha senso definire anche una striscia primaria e più strisce complementari nel piano s. La striscia primaria comprende tutti i numeri complessi con parte immaginaria compresa tra  , le strisce complementari si ottengono, a partire da quella primaria, per traslazione verticale di un multiplo intero della pulsazione di campionamento. Per quanto detto è possibile far corrispondere ogni punto del piano z con un punto della striscia primaria.

Al pari di quanto avviene nel piano s è possibile, anche nel piano z, tracciare dei luoghi a   e   costante.

CampionamentoModifica

Si consideri un segnale tempo-continuo  , la cui trasformata è:

 

Se   è campionato uniformemente con un treno di impulsi in modo da ottenere un segnale discreto   (supponendo il processo ideale), allora può essere rappresentato come:

 

dove   è l'intervallo di campionamento. In tale contesto la trasformata di Laplace è data da:

 

Trasformata di Fourier a tempo discretoModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Fourier a tempo discreto.

La trasformata di Fourier a tempo discreto è un caso particolare della trasformata zeta:

 

che si ottiene ponendo  . Dal momento che  , la trasformata di Fourier a tempo discreto è la valutazione della trasformata zeta sul cerchio unitario nel piano complesso.

Modello autoregressivo a media mobileModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Modello autoregressivo a media mobile.

Un sistema basato sul modello autoregressivo a media mobile è rappresentato dall'equazione:

 

dove entrambi i membri possono essere divisi per  , se è diversa da zero, normalizzando  . In questo modo l'equazione assume la forma:

 

Tale scrittura consente di visualizzare il fatto che l'uscita al tempo attuale   è funzione del valore dell'uscita   a un tempo precedente, dell'ingresso attuale   e dei precedenti valori  . Considerando la trasformata zeta della precedente equazione, dalle proprietà di linearità e traslazione temporale si ha:

 

che può essere scritta in modo da evidenziare la funzione di trasferimento:

 

Dal teorema fondamentale dell'algebra il numeratore ha M radici, corrispondenti agli zeri di  , e il denominatore ha N radici, corrispondenti ai poli di  . Riscrivendo la funzione di trasferimento in modo da evidenziare questo fatto si ha:

 

dove   è il k-esimo zero e   il k-esimo polo. Se il sistema descritto da   è pilotato dal segnale   allora l'uscita è data da  .

NoteModifica

  1. ^ E. R. Kanasewich, Time sequence analysis in geophysics, 3rd, University of Alberta, 1981, pp. 185–186, ISBN 978-0-88864-074-1.
  2. ^ J. R. Ragazzini and L. A. Zadeh, The analysis of sampled-data systems, in Trans. Am. Inst. Elec. Eng., vol. 71, II, 1952, pp. 225–234.
  3. ^ Cornelius T. Leondes, Digital control systems implementation and computational techniques, Academic Press, 1996, p. 123, ISBN 978-0-12-012779-5.

BibliografiaModifica

  • El Jury Theory and Applications of the z-Transform Method (John Wiley & Sons, NY, 1964)
  • Yutaka Yamamoto Digital Control Wiley Encyclopedia of Electrical and Electronics Engineering, 5, 445–457 (1999). PDF

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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