Sogno del sophomore

Nella matematica, il "sogno del sophomore" è la coppia di identità (specialmente la prima)

scoperte nel 1697 da Johann Bernoulli.

I valori numeri di queste costanti sono approssimativamente e , rispettivamente.

Il nome "sogno del sophomore", che appare in Borwein, Bailey & Girgensohn (2004), è in contrasto con il nome "sogno della matricola" che è assegnato alla identità errata [1] . Il sogno del sophomore sembra "troppo bello per essere vero", ma in realtà lo è.

DimostrazioneModifica

 
Grafici delle funzioni   (rosso, in basso) e   (grigio, in alto) nell'intervallo  .

Le dimostrazioni delle due identità sono simili, quindi qui si dimostrerà soltanto la seconda. I passi chiave della dimostrazione sono:

  • scrivere   (utilizzando la notazione   per la funzione esponenziale   in base e);
  • espandere   utilizzando la serie di potenze dell'esponenziale; e
  • integrare termine a termine, usando l'integrazione per sostituzione.

In dettaglio, si espande   come

 

Pertanto,  

Per la convergenza uniforme della serie di potenze, si può scambiare la sommatoria con l'integrale e ricavare

 

Per valutare gli integrali sopra, si può cambiare la variabile utilizzando la sostituzione  . COn questo cambio di variabile, gli estremi d'integrazioni diventano  , fornendo l'identità

 

Secondo l'identità integrale di Eulero per la funzione Gamma, si ha

 

in modo che

 

Sommando (e cambiando indice in modo che inizi in   invece di  ), si ricava l'identità.

Dimostrazione storicaModifica

La dimostrazione originale, fornita in Bernoulli (1697), e presentata nella forma moderna in Dunham (2005), differisce da quella sopra per come è calcolato l'integrale termine a termine  , ma è tuttavia la stessa, omettendo dettagli tecnici per giustificare i passaggi (come l'integrazione). Invece di operare un cambio di variabile, ottenendo la funzione Gamma (che non era ancora conosciuta), Bernoulli usò l'integrazione per parti per calcolare iterativamente i termini.

L'integrazione per parti procede come segue, variando indipendentemente i due esponenti per ottenere una formula ricorsiva. Si calcola inizialmente un integrale indefinito, omettendo la costante d'integrazione   sia perché storicamente fu così, sia perché sparisce quando si valuta l'integrale definito. Si può integrare   prendendo   e  , da cui si ricava:

 

(anche nella Tavola degli integrali indefiniti di funzioni logaritmiche). Questo metodo riduce di   la potenza del logaritmo nell'integrando e così si può calcolare l'integrale induttivamente, ottenendo

 

dove   indica il fattoriale decrescente; compare una somma finita perché l'induzione si ferma in  , dal momento che   è un intero.

In questo caso  , e sono interi, perciò

 

Integrando da   a  , tutti i termini si annullano eccetto l'ultimo in  ,[2] si ottiene:

 

Da un punto di vista moderno, questo è (a meno di una costante moltiplicativa) al calcolare l'identità integrale di Eulero   per la funzione Gamma in un differente dominio (corrispondente al cambiare la variabile), poiché quest'ultima può essere essa stessa calcolato attraverso ripetute integrazioni per parti.

NoteModifica

  1. ^ Sbagliata a meno che non si lavori su un campo o un anello commutativo unitario con caratteristica  , se   è un numero primo (vedere endomorfismo di Frobenius), altrimenti un suo fattore. Il risultato corretto è dato dal teorema binomiale.
  2. ^ Tutti i termini si annullano in   perché   per la regola di de l'Hôpital (Bernoulli tecnicamente omise il passaggio), e tutti tranne il primo si annullano in   poiché  .

BibliografiaModifica

FormulaModifica

  • Johann Bernoulli, 1697, collected in Johannis Bernoulli, Opera omnia, vol. 3, pp. 376–381
  • Jonathan Borwein, David H. Bailey e Roland Girgensohn, Experimentation in Mathematics: Computational Paths to Discovery, 2004, pp. 4, 44, ISBN 978-1-56881-136-9.
  • William Dunham, 3: The Bernoullis (Johann and  ), in The Calculus Gallery, Masterpieces from Newton to Lebesgue, Princeton, NJ, Princeton University Press, 2005, pp. 46–51, ISBN 978-0-691-09565-3.
  • OEIS, (successione A083648 in OEIS) e (successione A073009 in OEIS)
  • Weisstein, Eric W. "Sophomore's Dream". MathWorld.
  • Max R. P. Grossmann (2017): Sophomore's dream. 1,000,000 cifre della prima costante

Funzione xxModifica

Voci correlateModifica

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