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In geometria, uno spazio omogeneo è uno spazio i cui punti sono indistinguibili. La nozione si basa sul concetto di omogeneità, applicato in fisica ad esempio ad un corpo o all'intero universo.

In matematica questa nozione è resa formalmente dalla presenza di un gruppo che agisce sullo spazio in modo transitivo.

Indice

DefinizioneModifica

Definizione generaleModifica

Uno spazio omogeneo è una tripla   formata da un insieme  , un gruppo   ed una azione

 

che associa ad un elemento   del gruppo un automorfismo (cioè una biezione o equivalentemente una permutazione)   di  . L'azione deve essere transitiva: per ogni coppia   di elementi di   deve esistere almeno un elemento   tale che  .

StruttureModifica

Se l'insieme   è dotato di una struttura, generalmente si suppone che gli automorfismi in   preservino questa struttura. Ad esempio:

ProprietàModifica

Poiché per ogni coppia di punti   e   esiste un automorfismo che manda   in  , i punti di   sono indistinguibili dalla struttura. Ad esempio, la circonferenza  , con il gruppo   delle rotazioni, è uno spazio omogeneo, perché tramite un'opportuna rotazione è possibile spostare qualsiasi punto   in un punto dato  . D'altra parte, il quadrato con il gruppo delle rotazioni non è omogeneo, perché non è possibile con una rotazione spostare ad esempio un vertice all'interno di un lato.

EsempiModifica

Spazi a curvatura costanteModifica

La sfera   di dimensione   è uno spazio omogeneo con il gruppo ortogonale  : tale gruppo agisce su   preservando la lunghezza dei vettori, e quindi agisce sulla sfera. L'azione è effettivamente transitiva.

Lo spazio euclideo   è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni: tramite opportuna traslazione si può infatti spostare un punto in un qualsiasi altro punto dello spazio.

Lo spazio iperbolico   è omogeneo con il suo gruppo delle isometrie.

Gli esempi appena descritti sono precisamente le varietà riemanniane semplicemente connesse complete a curvatura sezionale costante  , rispettivamente con   (la sfera)   (il piano) e   (lo spazio iperbolico).

Spazi proiettivi e affiniModifica

Lo spazio proiettivo  , definito su un campo   (ad esempio, il campo dei numeri reali o complessi), è uno spazio omogeneo assieme al gruppo   delle proprie proiettività.

Lo spazio affine   è uno spazio omogeneo con il gruppo delle traslazioni.

BibliografiaModifica

  • (EN) Shoshichi Kobayashi, Katsumi Nomizu, Foundations of differential geometry 2, Wiley Classics Library.
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