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Teoremi di Gerschgorin

teoremi sulla localizzazione degli autovalori di una matrice nel campo complesso

In matematica, i teoremi di Gershgorin sono alcuni teoremi sulla localizzazione degli autovalori di una matrice nel campo complesso. Il loro nome è dovuto al matematico bielorusso Semyon Aranovich Gershgorin.

Indice

Cerchi di GershgorinModifica

Una definizione di basilare importanza nella comprensione di questi teoremi è quella di cerchio di Gershgorin.

Sia   una matrice in  . Si consideri l'elemento  -esimo   della diagonale principale di   e la somma dei moduli degli elementi fuori della diagonale:

 

Queste due quantità individuano il sottoinsieme del piano complesso:

 

corrispondente ad un disco di raggio   centrato in  , che viene detto  -esimo cerchio di Gershgorin della matrice  .

Primo teorema di GershgorinModifica

Sia   una matrice come sopra. Allora gli autovalori di   appartengono alla regione del piano complesso individuata dall'intersezione tra l'unione dei cerchi riga e l'unione dei cerchi colonna  . In formule:

 

Dimostrazione: sia   un autovalore di   e sia   l'autovettore corrispondente. Scegliamo   in modo che  . Questo equivale a dire: scegliere   in modo che   sia la più grande coordinata, in modulo, del vettore  . Allora   altrimenti  . Poiché   è un autovettore,   e quindi:

 

Allora, scomponendo la somma otteniamo

 

Possiamo dividere entrambi i membri per   (scegliendo   come sopra abbiamo che  ) e passando ai moduli otteniamo

 

dove l'ultima disuguaglianza vale poiché

 

Secondo teorema di GershgorinModifica

Detta

 

e

 

Se   allora esattamente   autovalori appartengono a   e i restanti   appartengono a  

Terzo teorema di GershgorinModifica

Se la matrice   è irriducibile ed esiste un autovalore   di   contenuto in   allora   sta sulla frontiera di ogni   con  

BibliografiaModifica

D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi numerici per l'algebra lineare, Zanichelli, Bologna, 1988.

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