Disuguaglianza

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In matematica una disuguaglianza (o diseguaglianza) è una relazione d'ordine totale sull'insieme dei numeri reali o su un suo sottoinsieme, stabilisce cioè una relazione tra i numeri usando i simboli di disuguaglianza, che sono:[1]

  • (minore)
  • (maggiore)
  • (minore o uguale)
  • (maggiore o uguale)

Le prime due esprimono una disuguaglianza in senso stretto, le ultime due esprimono una disuguaglianza in senso largo.

Gli stessi simboli possono essere utilizzati per "confrontare" due funzioni a valori reali.

Notazione

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La disuguaglianza in senso largo si indica con le scritture equivalenti   e  , che si leggono "  è maggiore o uguale a  " e "  è minore o uguale ad  ".

La disuguaglianza in senso stretto si indica invece le scritture equivalenti   e  , lette "  è maggiore di  " e "  è minore di  ".

Questa notazione può essere confusa con la notazione graficamente simile   (o  ), utilizzata con due diversi significati: sia per indicare che un numero è sufficientemente più grande di un altro ("  è molto maggiore di  "), sia per indicare che una funzione è asintoticamente più grande di un'altra ("  domina  "). In entrambi i casi non è una disuguaglianza, ma solamente una relazione d'ordine parziale, ovvero può non permettere di confrontare tra loro due distinti elementi dell'insieme.

Proprietà

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Ordine totale

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Una relazione d'ordine (larga o stretta) definita in un insieme è totale se, considerati due qualsiasi elementi dell'insieme   e   distinti tra loro, risulta sempre che   è in relazione con  , oppure che   è in relazione con  [2].

Una relazione d'ordine non totale è chiamata relazione d'ordine parziale.

Per esempio nell'insieme   la relazione " " è totale perché è possibile mettere a confronto tutti gli elementi dell'insieme. Se invece si considera, nello stesso insieme, la relazione "  multiplo di  ", questa è una relazione parziale perché per esempio   non è un multiplo di  .

Antisimmetria e tricotomia

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Se la disuguaglianza è stretta, allora vale la proprietà di tricotomia:

  vale una e una sola delle tre relazioni  .

Se la disuguaglianza è larga, allora vale l'antisimmetria:

 .

Somma e sottrazione

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Le disuguaglianze vengono preservate se ad entrambi i termini viene aggiunto o sottratto uno stesso numero[3]:

  • per ogni tre numeri reali   e   sono equivalenti:  ,  ,  .

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Questa proprietà indica che confrontare due numeri   e   è equivalente a verificare se la loro differenza   è positiva o negativa, ovvero a confrontare   e  . Inoltre   equivale a  , così come   equivale a  .

Questa proprietà in generale descrive i gruppi ordinati.

Moltiplicazione e divisione

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Le disuguaglianze vengono preservate se entrambi i termini vengono moltiplicati o divisi per uno stesso numero strettamente positivo. Moltiplicando o dividendo per un numero strettamente negativo, invece, le disuguaglianze si scambiano:

  • per ogni terna di numeri reali   e  ,
    • se   allora sono equivalenti:  ,  ,  ;
    • se   allora sono equivalenti:  ,  ,  .

Lo stesso vale con la disuguaglianza in senso largo.

Per la precedente proprietà, la seconda riga equivale alla prima, scrivendo   al posto di  .

Queste proprietà in generale descrivono gli anelli ordinati e i campi ordinati (o campi reali).

Funzioni monotone

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Le disuguaglianze sono alla base della definizione delle funzioni monotòne: le funzioni che conservano o invertono l'ordinamento dei numeri reali, quindi le disuguaglianze, sono funzioni monotone crescenti o decrescenti.
In particolare, le funzioni monotone in senso stretto "mantengono" le disuguaglianze in senso stretto; invece una funzione monotona in senso largo fornisce solamente disuguaglianze in senso largo.

Disequazione e segno

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A volte si abusa della notazione per la disuguaglianza, scrivendo   anche quando   è una funzione a valori reali. Con questa notazione si intende che   assume solo valori strettamente positivi, ovvero che   per ogni   nel dominio di  . In questo caso si parla si segno di una funzione o, equivalentemente, di insieme di positività di una funzione. Nello stesso modo,   indica che  , ovvero che   per ogni   nel comune dominio di   e  . Lo stesso capita con la disuguaglianza in senso largo. Quando il dominio delle funzioni non viene specificato, si parla di disequazione.

Disuguaglianze comuni

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Alcune "famose" disuguaglianze in matematica sono elencate di seguito.

  1. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.568
  2. ^ Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1. p.236
  3. ^ Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7. p.140

Bibliografia

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  • Massimo Bergamini, Graziella Barozzi, Anna Trifone, Matematica.blu (seconda edizione) Vol.1, Zanichelli - Bologna, 2018, ISBN 978-88-08-22085-1.
  • Marzia Re Fraschini, Gabriella Grazzi, I principi della matematica (Volume 1), Atlas, 2012, ISBN 978-88-268-1680-7.


Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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