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La funzione gradino di Heaviside, usando la convenzione della metà del massimo

In matematica e fisica, la funzione gradino di Heaviside o funzione a gradino unitaria, il cui nome si deve a Oliver Heaviside, è una funzione discontinua che ha valore zero per argomenti negativi e uno per argomenti positivi. Può essere definita sia come una funzione continua a tratti o come una distribuzione.

La derivata distribuzionale della funzione di Heaviside è la delta di Dirac :

mentre la funzione rampa ne è la primitiva:

La funzione a gradino è usata nella matematica della teoria del controllo e nell'elaborazione dei segnali per rappresentare un segnale che si attiva a partire da un tempo specificato e rimane attivo indefinitamente.

Inoltre tale funzione è utilizzata in fluidodinamica per lo studio di flussi multifase con interfaccia sharp.

Indice

DefinizioneModifica

Si indica con:

 

Spesso, in luogo di  , si usano le notazioni  ,   o  , o ancora, con abuso di notazione,  .

Se viene definita come una distribuzione, è la funzione  tale per cui:

 

dove  è la derivata di una funzione sufficientemente liscia che decresce all'infinito con andamento sufficientemente rapido.

Una rappresentazione integrale della funzione gradino è la seguente:

 

Si tratta della funzione di ripartizione di una variabile casuale che è quasi sicuramente 0 (vedi variabile casuale degenere).

La funzione di Heaviside è l'integrale della delta di Dirac:

 

Il valore di   è occasionalmente un valore discusso. Alcuni scrittori assumono  , altri    rimane comunque la scelta più utilizzata, perché permette di ridefinire la funzione di Heaviside attraverso la funzione segno. Questo ne dà una definizione più generale:

 

Per rimuovere l'ambiguità sul valore di   da utilizzare, si può scrivere un pedice che lo specifica:

 

Tuttavia la stessa notazione è usata per indicare un gradino ritardato:

 

Forma discretaModifica

Si può anche definire una forma alternativa del gradino unitario come funzione di una variabile discreta n:

 

dove n è intera. Questa funzione è la somma fino a n della delta di Kronecker:

 

dove

 

è la delta di Dirac.

Trasformata di FourierModifica

Un altro modo per scrivere il gradino di Heaviside è:

 

la cui trasformata di Fourier è:

 

dove  è la delta di Dirac. Cioè lo spettro in frequenza del gradino di Heaviside è   eccetto che in  , dove è presente una singolarità in cui è concentrato lo spettro.

BibliografiaModifica

  • (EN) Abramowitz, M. and Stegun, I. A. (Eds.). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 9th printing. New York: Dover, 1972.
  • (EN) Bracewell, R. "Heaviside's Unit Step Function, H(x)." The Fourier Transform and Its Applications, 3rd ed. New York: McGraw-Hill, pp. 61-65, 2000.
  • (EN) Kanwal, R. P. Generalized Functions: Theory and Technique, 2nd ed. Boston, MA: Birkhäuser, 1998.
  • (EN) Spanier, J. and Oldham, K. B. "The Unit-Step u(x-a) and Related Functions." Ch. 8 in An Atlas of Functions. Washington, DC: Hemisphere, pp. 63-69, 1987.

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