Moltiplicazione complessa

In matematica la moltiplicazione complessa (spesso abbreviato con CM, cioè Complex Multiplication) è la teoria delle curve ellittiche che hanno anello degli endomorfismi strettamente più grande di ed è anche la teoria delle varietà abeliane che hanno abbastanza endomorfismi in un senso più specifico (informalmente se l'azione dello spazio tangente sull'elemento identità della varietà abeliana è una somma diretta di moduli di dimensione uno).

La moltiplicazione complessa è un tema centrale in teoria algebrica dei numeri poiché permette ad alcune caratteristiche della teoria dei campi ciclotomici di essere riportate a una più ampia area di applicazione.

David Hilbert ha detto di aver osservato che la teoria della moltiplicazione complessa delle curve ellittiche non è solo una delle parti più belle della matematica, ma di tutta la scienza.

CM per curve ellitticheModifica

L'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere isomorfo solamente a una delle seguenti tre strutture algebriche: l'anello degli interi  , un ordine di un campo quadratico immaginario, un ordine in un'algebra di quaternioni su  [1]. Gli endomorfismi corrispondenti agli elementi di   sono spesso detti in questo contesto endomorfismi banali, in quanto li hanno tutte le curve ellittiche.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica è un campo finito il primo caso non può accadere, quindi tale curva ha sempre moltiplicazione complessa, quindi tale nozione diventa poco significativa e spesso non si usa tale terminologia in questo contesto. I morfismi non banali provengono dall'endomorfismo di Frobenius.

Se il campo su cui è definita la curva ellittica ha caratteristica zero (per esempio   o   o un generico campo di numeri) allora l'ultimo caso non può accadere e quindi il fatto che una curva ellittica abbia CM è atipico e risulta spesso interessante. Poiché in caratteristica zero l'anello degli endomorfismi di una curva ellittica può essere solo   o un ordine di un campo quadratico immaginario, se una curva ellittica ha CM vuol dire che ha endomorfismi corrispondenti ad alcuni numeri complessi, precisamente a quelli compresi in tale ordine, e da qui viene l'uso del termine moltiplicazione complessa.

EsempioModifica

Sia   la curva ellittica definita su  

 

allora l'anello degli endomorfismi di   è isomorfo a l'anello degli interi di Gauss   dove l'endomorfismo  , con   in  , è la somma di un punto con se stesso   volte secondo la legge di gruppo della curva se   è positivo e dell'opposto del punto se   è negativo, e l'endomorfismo   è definito da

 

Quindi   ha CM e ogni suo endomorfismo è della forma  , con   e   interi.

Il precedente esempio funziona se   è definita su un qualunque campo   con caratteristica diversa da  , ma il morfismo   è definito se e solo se  , in caso contrario   non ha CM.

NoteModifica

  1. ^ Joseph H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics, vol. 106, Springer-Verlag, 1986, ISBN 0-387-96203-4, Zbl 0585.14026.

BibliografiaModifica

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica