In matematica , l'operatore di Frobenius-Perron codifica informazioni riguardo una funzione iterata ed è spesso utilizzato per studiare il comportamento di sistemi dinamici , meccanica statistica , caos quantistico e frattali . L'operatore di Frobenius-Perron è anche chiamato operatore transfer o operatore di Ruelle.
Si consideri una trasformazione misurabile
S
:
X
→
S
{\displaystyle S\colon X\to S}
, con
(
X
,
Σ
,
m
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,m)}
uno spazio con misura
m
{\displaystyle m}
σ
{\displaystyle \sigma }
-finita. Sia
μ
{\displaystyle \mu }
una misura di probabilità su
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\Sigma )}
e si osservi l'evoluzione di tale misura sotto l'azione del sistema. Se la misura
μ
{\displaystyle \mu }
descrive la distribuzione dei punti nello spazio delle fasi
X
{\displaystyle X}
, la misura
ν
{\displaystyle \nu }
tale che
ν
(
B
)
=
μ
(
S
−
1
(
B
)
)
{\displaystyle \nu (B)=\mu (S^{-1}(B))}
descriverà la distribuzione dei punti dopo l'azione della trasformazione
S
{\displaystyle S}
. Sia
μ
{\displaystyle \mu }
assolutamente continua rispetto ad
m
{\displaystyle m}
con densità
f
{\displaystyle f}
. Se anche
ν
{\displaystyle \nu }
è assolutamente continua rispetto ad
m
{\displaystyle m}
, con
g
=
d
ν
d
m
{\displaystyle g={\frac {d\nu }{dm}}}
, possiamo definire l'operatore
P
S
{\displaystyle P_{S}}
su
(
X
,
Σ
)
{\displaystyle (X,\Sigma )}
data da
P
(
x
,
B
)
=
{
1
,
S
(
x
)
∈
B
,
0
,
S
(
x
)
∉
B
.
{\displaystyle P(x,B)={\begin{cases}1,&S(x)\in B,\\0,&S(x)\notin B.\\\end{cases}}}
Per trasformazioni non singolari , l'operatore
P
S
{\displaystyle P_{S}}
è correttamente definito. La condizione di non singolarità prenderà in tal caso la forma
m
(
B
)
=
0
⟹
m
(
S
−
1
(
B
)
)
=
0
,
B
∈
Σ
.
{\displaystyle m(B)=0\implies m(S^{-1}(B))=0,\;\;B\in \Sigma .}
Tale operatore può essere esteso ad un operatore lineare limitato
P
S
:
L
1
→
L
1
{\displaystyle P_{S}\colon L^{1}\to L^{1}}
, con
P
S
{\displaystyle P_{S}}
operatore stocastico detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione
S
{\displaystyle S}
.
Sia
(
X
,
Σ
,
m
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,m)}
uno spazio di misura
σ
{\displaystyle \sigma }
-finito e sia
S
{\displaystyle S}
una trasformazione non singolare di
X
{\displaystyle X}
. Un operatore
P
S
:
L
1
→
L
1
{\displaystyle P_{S}\colon L^{1}\to L^{1}}
che soddisfa la condizione
∫
B
P
S
f
(
x
)
m
(
d
x
)
=
∫
S
−
1
(
B
)
f
(
x
)
m
(
d
x
)
,
B
∈
Σ
,
f
∈
L
1
{\displaystyle \int _{B}P_{S}f(x)m(dx)=\int _{S^{-1}(B)}f(x)m(dx),\;\;B\in \Sigma ,\;\;f\in L^{1}}
è detto operatore di Frobenius-Perron per la trasformazione
S
{\displaystyle S}
. L'aggiunto dell'operatore di Frobenius-Perron
P
S
∗
:
L
∞
→
L
∞
{\displaystyle P_{S}^{*}\colon L^{\infty }\to L^{\infty }}
, detto operatore di Koopman , è dato da
P
S
∗
g
(
x
)
=
g
(
S
(
x
)
)
{\displaystyle P_{S}^{*}g(x)=g(S(x))}
.
In particolare, se
S
:
X
→
S
{\displaystyle S\colon X\to S}
è biettiva e non singolare rispetto a
m
{\displaystyle m}
, allora
P
S
f
(
x
)
=
1
S
(
X
)
(
x
)
f
(
S
−
1
(
x
)
)
d
(
m
∘
S
−
1
)
d
m
(
x
)
{\displaystyle P_{S}f(x)=1_{S(X)}(x)f(S^{-1}(x)){\frac {d(m\circ S^{-1})}{dm}}(x)}
per quasi ogni
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
.
L'operatore di Frobenius-Perron è un particolare tipo di operatore di Markov perciò ogni proprietà dimostrata per gli operatori di Markov può essere trasferita all'operatore di Frobenius-Perron. In particolare:
P
{\displaystyle P}
è un operatore lineare;
P
f
≥
0
{\displaystyle Pf\geq 0}
se
f
≥
0
{\displaystyle f\geq 0}
;
∫
X
P
f
(
x
)
μ
(
d
x
)
=
∫
X
f
(
x
)
μ
(
d
x
)
{\displaystyle \int _{X}Pf(x)\mu (dx)=\int _{X}f(x)\mu (dx)}
;
l'operatore di Frobenius-Perron della composizione di trasformazioni è la composizione degli operatori di Frobenius-Perron delle trasformazioni.
Dal teorema di cambiamento di variabile per trasformazioni non singolari discende immediatamente che per ogni
f
∈
L
1
{\displaystyle f\in L^{1}}
,
P
f
(
x
)
=
f
(
S
−
1
(
x
)
)
J
−
1
(
x
)
.
{\displaystyle Pf(x)=f(S^{-1}(x))J^{-1}(x).}
Teorema di esistenza dell'operatore di Frobenius-Perron
modifica
Sia
X
⊆
R
d
{\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{d}}
con interno non vuoto e frontiera con misura di Lebesgue nulla. Sia
S
:
X
→
X
{\displaystyle S\colon X\to X}
una trasformazione misurabile . Assumiamo che esista una famiglia di sottoinsiemi disgiunti di
X
{\displaystyle X}
,
U
1
,
…
,
U
n
{\displaystyle U_{1},\dots ,U_{n}}
, con le seguenti proprietà:
gli insiemi
X
0
=
X
∖
⋃
i
=
1
n
U
i
{\displaystyle X_{0}=X\setminus \bigcup _{i=1}^{n}U_{i}}
e
S
(
X
0
)
{\displaystyle S(X_{0})}
hanno misura di Lebesgue nulla;
le funzioni
S
i
=
S
|
U
i
{\displaystyle S_{i}=S|_{U_{i}}}
sono diffeomorfismi da
U
i
{\displaystyle U_{i}}
in
S
(
U
i
)
{\displaystyle S(U_{i})}
.
Allora anche le trasformazioni
ψ
i
=
S
i
−
1
{\displaystyle \psi _{i}=S_{i}^{-1}}
sono diffeomorfismi da
S
(
U
i
)
{\displaystyle S(U_{i})}
in
U
i
{\displaystyle U_{i}}
, l'operatore di Frobenius-Perron esiste ed è dato dalla formula
P
S
f
(
x
)
=
∑
i
∈
I
x
f
(
ψ
i
(
x
)
)
|
det
ψ
i
′
(
x
)
|
,
{\displaystyle P_{S}f(x)=\sum _{i\in I_{x}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|,}
dove
I
x
=
{
i
:
ψ
i
(
x
)
∈
U
i
}
{\displaystyle I_{x}=\{i:\psi _{i}(x)\in U_{i}\}}
. Difatti:
∫
S
−
1
(
B
)
f
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
n
∫
S
−
1
(
B
)
∩
U
i
f
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
n
∫
ψ
i
(
B
)
f
(
x
)
d
x
=
∑
i
=
1
n
∫
S
−
1
(
B
)
∩
U
i
f
(
ψ
i
(
x
)
)
|
det
ψ
i
′
(
x
)
|
d
x
=
∫
B
∑
i
∈
I
x
f
(
ψ
i
(
x
)
)
|
det
ψ
i
′
(
x
)
|
d
x
=
∫
B
P
f
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle \int _{S^{-1}(B)}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{S^{-1}(B)\cap U_{i}}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{\psi _{i}(B)}f(x)dx=\sum _{i=1}^{n}\int _{S^{-1}(B)\cap U_{i}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|dx=\int _{B}\sum _{i\in I_{x}}f(\psi _{i}(x))|\det \psi '_{i}(x)|dx=\int _{B}Pf(x)dx.}
Operatore di Frobenius-Perron su intervalli
modifica
Supponiamo che
X
{\displaystyle X}
sia un intervallo,
X
=
[
a
,
b
]
∈
R
{\displaystyle X=[a,b]\in \mathbb {R} }
e sia
A
=
[
a
,
x
]
{\displaystyle A=[a,x]}
. Allora
P
f
(
x
)
=
d
d
x
∫
S
−
1
(
[
a
,
x
]
)
f
(
s
)
d
s
.
{\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\int _{S^{-1}([a,x])}f(s)ds.}
Se
S
{\displaystyle S}
è differenziabile e invertibile allora
S
{\displaystyle S}
è monotona. Sia quindi
S
{\displaystyle S}
monotona crescente ed
S
−
1
{\displaystyle S^{-1}}
con derivata continua. Allora
S
−
1
(
[
a
,
x
]
)
=
[
S
−
1
(
a
)
,
S
−
1
(
x
)
]
{\displaystyle S^{-1}([a,x])=[S^{-1}(a),S^{-1}(x)]}
e quindi
P
f
(
x
)
=
d
d
x
∫
S
−
1
(
a
)
S
−
1
(
x
)
f
(
s
)
d
s
=
d
(
S
−
1
(
x
)
)
d
d
x
[
S
−
1
(
x
)
]
.
{\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\int _{S^{-1}(a)}^{S^{-1}(x)}f(s)ds=d(S^{-1}(x)){\frac {d}{dx}}\left[S^{-1}(x)\right].}
Sia
S
(
x
)
=
α
x
(
1
−
x
)
{\displaystyle S(x)=\alpha x(1-x)}
una mappa logistica , con
0
≤
x
≤
1
{\displaystyle 0\leq x\leq 1}
, con
α
=
4
{\displaystyle \alpha =4}
. Si trova facilmente la forma analitica della retroimmagine di un intervallo
[
0
,
x
]
⊂
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,x]\subset [0,1]}
:
S
−
1
(
[
0
,
x
]
)
=
[
0
,
1
2
−
1
2
1
−
x
]
∪
[
1
2
+
1
2
1
−
x
,
1
]
.
{\displaystyle S^{-1}([0,x])=[0,{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}}]\cup [{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}},1].}
L'equazione diventa quindi
P
f
(
x
)
=
d
d
x
(
∫
0
1
/
2
−
1
/
2
1
−
x
f
(
u
)
d
u
+
∫
1
/
2
+
1
/
2
1
−
x
1
f
(
u
)
d
u
)
,
{\displaystyle Pf(x)={\frac {d}{dx}}\left(\int _{0}^{1/2-1/2{\sqrt {1-x}}}f(u)du+\int _{1/2+1/2{\sqrt {1-x}}}^{1}f(u)du\right),}
ossia
P
f
(
x
)
=
1
4
1
−
x
[
f
(
1
2
−
1
2
1
−
x
)
+
f
(
1
2
+
1
2
1
−
x
)
]
.
{\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{4{\sqrt {1-x}}}}\left[f({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}})+f({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {1-x}})\right].}
Il calcolo dell'operatore di Frobenius-Perron corrispondente alla trasformazione quadratica mostra quindi come
S
{\displaystyle S}
trasforma la densità
f
{\displaystyle f}
in una nuova densità
P
f
{\displaystyle Pf}
. Prendendo ad esempio
f
(
x
)
≡
1
{\displaystyle f(x)\equiv 1}
per
x
∈
[
0
,
1
]
{\displaystyle x\in [0,1]}
, otteniamo
P
f
(
x
)
=
1
2
1
−
x
,
{\displaystyle Pf(x)={\frac {1}{2{\sqrt {1-x}}}},}
P
2
f
(
x
)
=
2
8
1
−
x
(
1
1
+
1
−
x
+
1
1
−
1
−
x
)
,
{\displaystyle P^{2}f(x)={\frac {\sqrt {2}}{8{\sqrt {1-x}}}}\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\sqrt {1-x}}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-{\sqrt {1-x}}}}}\right),}
⋮
{\displaystyle \qquad \vdots }
f
∗
(
x
)
=
1
π
x
(
1
−
x
)
,
{\displaystyle f_{*}(x)={\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}},}
con
f
∗
(
x
)
{\displaystyle f_{*}(x)}
densità limite di
P
n
f
{\displaystyle P^{n}f}
quando
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
.
Sistema di funzioni iterate
modifica
Si consideri un insieme finito di funzioni non singolari differenti,
S
1
,
…
,
S
k
{\displaystyle S_{1},\dots ,S_{k}}
su uno spazio di misura
σ
{\displaystyle \sigma }
-finito
(
X
,
Σ
,
m
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,m)}
. Siano
p
1
(
x
)
,
…
,
p
k
(
x
)
{\displaystyle p_{1}(x),\dots ,p_{k}(x)}
funzioni misurabili non negative definite su
X
{\displaystyle X}
tali che
p
1
(
x
)
+
⋯
+
p
k
(
x
)
=
1
{\displaystyle p_{1}(x)+\cdots +p_{k}(x)=1}
per ogni
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
. Si prenda un punto
x
{\displaystyle x}
. Si sceglierà la trasformazione
S
j
{\displaystyle S_{j}}
con probabilità
p
j
(
x
)
{\displaystyle p_{j}(x)}
e la posizione di
x
{\displaystyle x}
dopo l'azione del sistema sarà
S
j
(
x
)
{\displaystyle S_{j}(x)}
. Si consideri dunque la probabilità di transizione
P
(
x
,
B
)
=
∑
j
=
1
k
p
j
(
x
)
δ
S
j
(
x
)
(
B
)
{\displaystyle P(x,B)=\sum _{j=1}^{k}p_{j}(x)\delta _{S_{j}(x)}(B)}
per ogni
x
∈
X
{\displaystyle x\in X}
e insieme misurabile
B
{\displaystyle B}
. Per ogni misura
μ
{\displaystyle \mu }
si avrà:
P
μ
(
B
)
=
∑
j
=
1
k
∫
X
p
j
(
x
)
δ
S
j
(
x
)
(
B
)
μ
(
d
x
)
=
∑
j
=
1
k
∫
S
j
−
1
(
B
)
p
j
(
x
)
μ
(
d
x
)
{\displaystyle P\mu (B)=\sum _{j=1}^{k}\int _{X}p_{j}(x)\delta _{S_{j}(x)}(B)\mu (dx)=\sum _{j=1}^{k}\int _{S_{j}^{-1}(B)}p_{j}(x)\mu (dx)}
e, se
μ
{\displaystyle \mu }
è assolutamente continua,
f
=
d
μ
d
m
{\displaystyle f={\frac {d\mu }{dm}}}
, si avrà
P
μ
(
B
)
=
∑
j
=
1
k
∫
S
j
−
1
(
B
)
p
j
(
x
)
f
(
x
)
m
(
d
x
)
=
∑
j
=
1
k
∫
B
P
S
j
(
p
j
f
)
(
x
)
m
(
d
x
)
,
{\displaystyle P\mu (B)=\sum _{j=1}^{k}\int _{S_{j}^{-1}(B)}p_{j}(x)f(x)m(dx)=\sum _{j=1}^{k}\int _{B}P_{S_{j}}(p_{j}f)(x)m(dx),}
con
P
S
1
,
…
,
P
S
k
{\displaystyle P_{S_{1}},\dots ,P_{S_{k}}}
operatori di Frobenius-Perron associati. L'operatore stocastico corrispondente a
P
{\displaystyle P}
sarà della forma
P
f
=
∑
j
=
1
k
P
S
j
(
p
j
f
)
,
f
∈
L
1
{\displaystyle Pf=\sum _{j=1}^{k}P_{S_{j}}(p_{j}f),\;\;f\in L^{1}}
.
Sia
S
y
:
X
→
X
{\displaystyle S_{y}\colon X\to X}
,
y
∈
Y
{\displaystyle y\in Y}
, una famiglia di trasformazioni misurabili, dove
Y
{\displaystyle Y}
è uno spazio metrico dotato di misura di Borel
ν
{\displaystyle \nu }
, e sia
p
y
:
X
→
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle p_{y}\colon X\to [0,+\infty )}
una famiglia di funzioni misurabili tali che
∫
Y
p
y
(
x
)
ν
(
d
y
)
=
1
,
x
∈
X
,
{\displaystyle \int _{Y}p_{y}(x)\nu (dy)=1,\;\;x\in X,}
con probabilità di transizione
P
{\displaystyle P}
della forma
P
(
x
,
B
)
=
∫
Y
1
B
(
S
y
(
x
)
)
p
y
(
x
)
ν
(
d
y
)
,
x
∈
X
.
{\displaystyle P(x,B)=\int _{Y}1_{B}(S_{y}(x))p_{y}(x)\nu (dy),\;\;x\in X.}
Se ogni trasformazione
S
y
{\displaystyle S_{y}}
è non singolare, allora l'operatore stocastico corrispondente alla probabilità di transizione è della forma
P
f
=
∫
Y
P
S
y
(
p
y
f
)
ν
(
d
y
)
,
f
∈
L
1
,
{\displaystyle Pf=\int _{Y}P_{S_{y}}(p_{y}f)\nu (dy),\;\;f\in L^{1},}
dove
P
S
y
{\displaystyle P_{S_{y}}}
è l'operatore di Frobenius-Perron per
S
y
{\displaystyle S_{y}}
.
Michael Brin and Garrett Stuck. Introduction to Dynamical Systems. Cambridge, 2002.
Karma Dajani and Sjoerd Dirksin. A simple introduction to ergodic theory. University of Utrecht, Lecture notes in Ergodic Theory, 2008.
Manfred Einsiedler and Thomas Ward. Ergodic Theory with a view towards Number Theory. Springer, first edition, 2010.
Andrzej Lasota and Michael C Mackey. Chaos, fractals, and noise: stochastic aspects of dynamics. Springer, second edition, 1994.
Peter Walters. An introduction to Ergodic Theory. Springer, 2000 edition.