Radice quadrata di 2

numero irrazionale
(Reindirizzamento da Radice di due)

In matematica, la radice quadrata di due (), conosciuta anche come costante di Pitagora, è il numero reale che si ottiene come risultato dell'operazione di estrazione della radice quadrata dal numero naturale 2, o, in modo equivalente, il numero positivo che moltiplicato per sé stesso dà esito 2.

Radice quadrata di 2
Simbolo
Valore1, 414213562373095048801...
(sequenza A002193 dell'OEIS)
Frazione continua[1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, ...]
(sequenza A040000 dell'OEIS)
Insiemenumeri algebrici irrazionali
Costanti correlateCostante deliana

La radice quadrata di due è uguale all'ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti lunghi uno

Si tratta di un numero irrazionale che riveste un ruolo molto importante nella storia della matematica, dal momento che a esso è associata la scoperta dell'incommensurabilità, dimostrata, nell'ambito della matematica greca, con un'elegante dimostrazione per assurdo.

In termini geometrici, seguendo il teorema di Pitagora è uguale alla lunghezza dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele i cui cateti sono di lunghezza uguale a uno, o, in modo equivalente, al rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato.

Il suo valore approssimato alla cinquantesima cifra decimale è:

1, 41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694...

In quanto soluzione dell'equazione di secondo grado , tale numero è radice di un polinomio a coefficienti nel campo dei numeri razionali ed è, pertanto, un numero algebrico.

I babilonesi diedero la prima approssimazione di  , tramite

 

Un'altra approssimazione di questo numero è quella data da un antico testo matematico indiano, il Sulbasutras, che cita:

«Aumenta la lunghezza [del lato] della sua terza parte, poi aggiungi la sua dodicesima parte, infine sottrai un trentaquattresimo della sua dodicesima parte»

Ossia

 

Questa antica approssimazione indiana è la settima nella serie di sempre più accurate approssimazioni basate sui numeri di Pell, che possono essere ricavate dalla frazione continua di  .

La dimostrazione dell'irrazionalità della radice di 2 viene spesso attribuita al greco Ippasos, filosofo e matematico della scuola pitagorica.

Algoritmi computazionali

modifica
 
Le prime 10 000 cifre decimali del numero

Esiste una gran quantità di algoritmi atti a calcolare le cifre di  , tuttavia il più usato dai calcolatori è ancora il vecchio metodo babilonese di calcolo delle radici: si scelga un qualunque valore iniziale  ; poi, utilizzandolo come primo valore, iterare la seguente funzione ricorsiva:

 

Maggiore è il numero di iterazioni, migliore sarà la precisione del risultato. Nel febbraio 2006 utilizzando questo metodo sono state calcolate 200 000 000 000 cifre in 13 giorni e 14 ore. Tra le costanti matematiche irrazionali non periodiche, solo π è stata calcolata con maggior precisione.

Prove dell'irrazionalità

modifica

Dimostrazione per assurdo

modifica

Si supponga per assurdo che   sia razionale, ossia che sia possibile esprimerlo sotto forma di frazione  , che si assume irriducibile:

 

dalla quale si ottiene

 

ossia

 

Il termine   è pari, pertanto anche   è pari, e conseguentemente   stesso dev'essere pari (il quadrato di un numero dispari è sempre dispari), quindi esiste un opportuno   tale per cui  . Sostituendo, si ottiene:

 

che, sviluppando il quadrato, semplificando   e dividendo per   diventa

 

Con identico ragionamento, essendo ora   pari si deduce che anche  , e quindi   stesso, siano a loro volta pari.

Sia   che   risultano pertanto essere pari, il che contraddice l'ipotesi iniziale che   sia irriducibile. Se ne conclude che   non è esprimibile sotto forma di frazione, ossia è irrazionale.

Dimostrazione con il teorema fondamentale dell'aritmetica

modifica

Una dimostrazione alternativa si basa sul teorema fondamentale dell'aritmetica. Innanzitutto si ipotizza che   sia razionale. Da qui consegue che (vedere dimostrazione precedente)

 

Ma, dal teorema fondamentale dell'aritmetica,   e   hanno una fattorizzazione diversa, tale che   e   con   e   interi positivi e   e   interi positivi dispari. Da qui otteniamo che

 

e

 

Sostituendo nella prima formula:

 

dalla quale, operando a destra:

 

Ciò comporta che una fattorizzazione di 2 con potenza pari (  è certamente pari) è uguale a una fattorizzazione di 2 con potenza dispari   Questo contraddice il teorema fondamentale dell'aritmetica, e quindi, per assurdo, è dimostrato che   è irrazionale.

Dimostrazione analitica

modifica
  • Lemma 1: sia   e   tali che   per ogni   e
 
 

allora   è irrazionale.

Dimostrazione: supponiamo   con  .

Per   sufficientemente grande avremo

 

quindi

 
 

ma, essendo   un intero, ciò è assurdo, da cui   è irrazionale.

  •   è irrazionale.

Dimostrazione: poniamo   e

 
 

per ogni  .

Dimostramo per induzione che vale

 

per ogni  . La tesi vale per  , infatti

 

e se vale per   allora vale per   poiché

 
 
 

Infine applicando il lemma 1 segue l'irrazionalità di  .

Dimostrazione con i numeri 2-adici

modifica

Consideriamo l'equazione   su   (il campo dei numeri 2-adici), essa non ha soluzione poiché la valutazione p-adica del primo membro è pari mentre quella del secondo membro è dispari. D'altra parte   è un'estensione di  , quindi se l'equazione non ha soluzioni in   non ha neanche soluzioni in   e   è irrazionale.

Proprietà

modifica

La metà di  , uguale circa a   è un numero comune in geometria e trigonometria, poiché le coordinate del versore che forma un angolo di 45º con gli assi di un piano cartesiano ortogonale sono

 

Questo numero è comune inoltre poiché

 

Un'altra proprietà è che:

 

Inoltre

 

Infine   può essere espressa utilizzando l'unità immaginaria utilizzando unicamente radici:

 

Rappresentazioni tramite serie e prodotti

modifica

L'identità

 

insieme alle rappresentazioni tramite prodotti infiniti delle funzioni seno e coseno consentono di ricavare formule quali

 

oppure

 

o

 

Il numero può anche essere espresso tramite la serie di Taylor di funzioni trigonometriche. Ad esempio, la serie per  

 

Rappresentazione tramite frazione continua

modifica

Dalla proprietà scritta:

 

sostituendo ricorsivamente a ogni   (al denominatore), genera la frazione continua semplice:

 

La rappresentazione di   tramite frazione continua è infine

 

Standard ISO 216 (formato carta)

modifica

Il valore   è approssimativamente il rapporto che intercorre fra il lato più corto e quello più lungo di un foglio di carta in uno dei formati previsti dello standard ISO 216, meglio noto come formati UNI. Questo rapporto garantisce che, tagliando un foglio a metà lungo la linea che unisce i due punti medi dei lati più lunghi, si ottengono due fogli più piccoli che mantengono lo stesso rapporto fra i lati.

Inoltre, se il foglio di partenza è in uno dei formati previsti dallo standard, anche i due fogli ottenuti tagliandolo a metà sono in formato standard. Il codice del formato dei due fogli più piccoli si ottiene aggiungendo 1 alla cifra del codice del foglio grande di partenza. Ad esempio, se si taglia a metà un foglio in formato A4 (210 × 297 mm, il formato della comune carta da lettere), si ottengono due fogli in formato A5 (148 × 210 mm, il formato di un volantino).

Voci correlate

modifica

Altri progetti

modifica

Collegamenti esterni

modifica
Controllo di autoritàBNF (FRcb15504722x (data)
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica