Successione di Cauchy

In matematica, una successione di Cauchy o successione fondamentale è una successione tale che, comunque si fissi una distanza arbitrariamente piccola $\varepsilon >0$ , da un certo punto in poi tutti gli elementi della successione hanno distanza reciproca inferiore ad $\varepsilon$ . Ogni successione convergente è di Cauchy, e tale nome è dovuto al matematico e ingegnere Augustin-Louis Cauchy.

Definizione

Si definisce successione di Cauchy una successione $\{x_{n}\}_{n:\mathbb {N} }$ a valori in uno spazio metrico $(X,d)$ tale che per qualunque $\varepsilon >0$ si verifica:^[1]

d(x_{n},x_{n+1})<\varepsilon

La definizione indica che, al tendere dell'indice all'infinito, la distanza nello spazio $X$ tra i due elementi della successione tende a annullarsi.

Ogni successione convergente in $X$ è di Cauchy, come si dimostra considerando una successione convergente $\{x_{n}\}_{n:\mathbb {N} }\to x$ :

d(x_{n},x)<{\frac {\varepsilon }{2}};\quad d(x,x_{n+1})<{\frac {\varepsilon }{2}}

si ha di conseguenza:

d(x_{n},x_{n+1})<\varepsilon ;\quad \varepsilon ={\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}

Non è detto, al contrario, che una successione di Cauchy debba necessariamente convergere. Se tutte le successioni di Cauchy dello spazio metrico $(X,d)$ hanno un limite in $X$ , allora $(X,d)$ viene chiamato spazio metrico completo.^[2] Dato uno spazio metrico, è sempre possibile "estendere" lo spazio in modo da renderlo completo. Uno spazio normato completo, rispetto alla metrica indotta dalla norma, si dice invece spazio di Banach.

Ogni successione di Cauchy è limitata; e se una successione di Cauchy tende a un limite $L$ ogni sua sottosuccessione tende a $L$ .

Alcuni teoremi sulle successioni di Cauchy

Si dice diametro di un certo insieme $E$ in uno spazio metrico $(X,d)$ l'estremo superiore:

\sup _{p,q\in E}\,d(p,q)

e si indica con:

{\mbox{diam }}E

in analogia con il diametro del cerchio, in quanto per due punti qualsiasi appartenenti a un cerchio la loro distanza è sempre minore (al più uguale) al diametro del cerchio stesso.

Teorema della limitatezza delle successioni di Cauchy

Sia $\{x_{n}\}$ una successione di Cauchy in $(X,d)$ . Allora $\{x_{n}\}$ è limitata in $X$ .

Infatti, per definizione di successione di Cauchy, per ogni $\varepsilon >0$ esiste $N(\varepsilon )=N$ tale che:

d(x_{n},x_{m})<\varepsilon \qquad \forall \,m,n\geq N

e dunque esiste $N_{*}$ che soddisfa:

d(x_{n},x_{m})<1\qquad \forall \,m,n\geq N_{*}

da cui:

d(x_{n},x_{N_{*}})<1\qquad \forall n\geq N_{*}

Sia:

r=\max\{1,d(x_{1},x_{N_{*}}),d(x_{2},x_{N_{*}}),\dots ,d(x_{N_{*}-1},x_{N_{*}})\}

Allora:

d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{N*})+d(x_{m},x_{N*})\leq r+r=2r\qquad \forall n,m

Perciò $\{x_{n}\}$ è limitata.

Teorema dell'implicazione dalla convergenza

Sia $\{p_{n}\}$ convergente. Allora $\{p_{n}\}$ è una successione di Cauchy.

Infatti, per definizione di convergenza, per ogni $\varepsilon >0$ si può trovare $N(\varepsilon )=N$ tale che esiste $p$ che soddisfa:

d(p_{n},p)<\varepsilon \qquad \forall n\geq N

Dunque esiste un indice di successione $m\geq n$ per cui, applicando la disuguaglianza triangolare, si ha

d(p_{n},p_{m})\leq d(p_{m},p)+d(p,p_{n})<2\,\varepsilon

Per cui il teorema è dimostrato.

Teorema della convergenza in spazi metrici

Sia $(X,d)$ , con $X$ compatto e $\{p_{n}\}$ una successione di Cauchy in $X$ . Allora $\{p_{n}\}$ converge a qualche punto di $X$ .

Infatti, sia, come da enunciato, $\{p_{n}\}$ una successione di Cauchy. Per ogni $N$ numero naturale, si costruisca $E_{N}$ nel seguente modo:

E_{N}\,:=\,\{p_{N},p_{N+1},p_{N+2},\dots \}

{\overline {E}}_{N}\subset X\qquad \forall \,N

dove ${\overline {E}}$ è la chiusura di $E$ (unione dell'insieme con i suoi punti di accumulazione). Trattandosi di insiemi chiusi in un compatto, sono a loro volta compatti, da cui:

\lim _{N\to \infty }\!{\mbox{diam }}{\overline {E}}_{N}=0

Inoltre:

E_{N}\supset E_{N+1}

che implica:

{\overline {E}}_{N}\supset {\overline {E}}_{N+1}

e quindi esiste un unico $p$ tale che $p\in X$ per ogni $N$ . A questo punto, per ogni $\varepsilon >0$ esiste ${\tilde {N}}$ tale per cui:

{\mbox{diam}}\,{\overline {E}}_{N}<\varepsilon \qquad \forall \,N\geq {\tilde {N}}

da cui:

d(p,q)<\varepsilon \qquad \forall \,q\in {\overline {E}}_{N}

che implica:

d(p,p_{n})<\varepsilon \qquad \forall n\geq {\tilde {N}}

il che significa $p_{n}\to p$ , ovvero la successione converge.

Teorema della completezza di R^k

Uno spazio metrico si dice completo quando la condizione di Cauchy per le successioni è condizione sufficiente alla convergenza. Il teorema afferma che in $\mathbb {R} ^{k}$ ogni successione di Cauchy converge.

Infatti, presa una successione di Cauchy $\{\mathbf {x} _{n}\}$ a valori in $\mathbb {R} ^{k}$ , sia come per il teorema precedente:

E_{N}\,:=\,\{x_{N},x_{N+1},x_{N+2},\dots \}

Allora è possibile costruire per qualche $N$ un $E_{N}$ tale che ${\mbox{diam}}\,E_{n}<1$ . Dunque la successione è limitata perché da una parte c'è un insieme finito, quello dell'insieme $\{x_{1},...,x_{N-1}\}\,$ , e dall'altra c'è $E_{N}$ . Per il teorema di Heine-Borel un sottoinsieme limitato in $\mathbb {R} ^{k}$ ha chiusura compatta, quindi si ricade nel caso del teorema precedente. Questo dimostra la completezza di $\mathbb {R} ^{k}$ .

Numeri razionali e numeri reali

Non tutte le successioni di Cauchy convergono: ad esempio, nello spazio dei numeri razionali, la successione

x_{n}={\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}

dove $F_{n}$ sono i numeri della successione di Fibonacci, è di Cauchy e tende a un numero che verifica $x^{2}=x+1$ , ma nessun razionale ha questa proprietà. È necessario quindi costruire un nuovo tipo di numeri; questo è uno dei modi per ottenere l'insieme dei numeri reali a partire dai razionali.