Funzione suriettiva

(Reindirizzamento da Suriettivo)

In matematica, una funzione si dice suriettiva (o surgettiva, o una suriezione) quando ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio. In tal caso si ha che l'immagine coincide con il codominio.

Un esempio di funzione suriettiva: non esiste alcun elemento di Y che non sia puntato da un elemento di X

DefinizioneModifica

Una funzione   è detta suriettiva se  .

La composta di due funzioni suriettive è a sua volta suriettiva; ma se   è suriettiva, possiamo concludere solo che   è suriettiva

EsempiModifica

  • Per ogni insieme  , la funzione identità   su   è suriettiva.
  • La funzione   definita da   è suriettiva, perché per ogni numero reale   si ha   dove   è  .
  • La funzione logaritmo naturale   è suriettiva.
  • Sia la parabola   definita in maniera seguente:  ; questa funzione non è suriettiva in quanto l'insieme delle immagini è costituito da tutti i numeri reali non negativi. Per rendere suriettiva questa funzione è sufficiente effettuare questa restrizione:  , ovvero considerare un codominio diverso.

Graficamente la suriettività può essere vista in questo modo: se abbiamo una funzione reale di una variabile reale che è suriettiva allora tracciando sul piano cartesiano una qualsiasi retta parallela all'asse   di equazione   con   scelto nel codominio della funzione, allora questa retta orizzontale intersecherà il grafico della funzione almeno una volta.

ProprietàModifica

  • Una funzione   è suriettiva se e solo se esiste una funzione   tale che   è la funzione identità su  . (Tale proposizione è equivalente all'assioma della scelta.)
  • Se   e   sono entrambe suriettive, allora   è suriettiva.
  • Se   è suriettiva, allora   è suriettiva (ma   può non esserlo).
  •   è suriettiva se e solo se, per ogni coppia di funzioni  , ogni volta che  , allora  . In altri termini, le funzioni suriettive sono esattamente gli epimorfismi nella categoria   di tutti gli insiemi.
  • Se   è suriettiva e   è un sottoinsieme di  , allora  . Ne consegue che   può essere ricostruito dalla sua controimmagine  .
  • Per ogni funzione   esistono una suriezione   e una funzione iniettiva   tale che   può essere decomposta come  . Tale decomposizione è unica a meno di un isomorfismo, e   può essere vista come una funzione avente gli stessi valori di   ma il cui codominio è ristretto all'insieme immagine   di  , che è un sottoinsime del codominio   di  .
  • Aggregando insieme tutte le controimmagini di una prefissata immagine, ogni funzione suriettiva induce una funzione biunivoca definita sul quoziente del suo dominio. In particolare, ogni funzione suriettiva   può essere fattorizzata in una proiezione seguita da una biiezione nel seguente modo. Sia   l'insieme delle classi di equivalenza di   rispetto alla seguente relazione d'equivalenza:  . Sia   la proiezione che associa ogni   alla sua classe d'equivalenza , e sia   la funzione ben definita data da  . Allora  .
  • Se   è suriettiva e   sono insiemi finiti, allora   ammette almeno lo stesso numero di elementi di  .
  • Se   e   sono finiti con lo stesso numero di elementi, allora   è suriettiva se e solo se   è iniettiva.

Numero di funzioni suriettiveModifica

Il numero di funzioni suriettive da un insieme finito   con   elementi ad un insieme finito   con   elementi è pari a 0 se   (vedi proprietà 8). Nel caso meno banale in cui   il numero di funzioni suriettive da   a  , indicato con  , sarà dato dalla seguente relazione di ricorrenza:

 
 

Per giustificare questa formula basti pensare al fatto che, per calcolare  , basta contare quante sono tutte le   (cioè  ) e sottrarre quelle non suriettive. Le funzioni non suriettive hanno come immagine un sottoinsieme più piccolo di  , di cardinalità  . Per ogni   si sottrarrà dunque   tante volte quanti sono i possibili modi di scegliere i   elementi su   disponibili e cioè  .

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica