Apri il menu principale

Teorema della media integrale

In matematica, il teorema della media integrale è un teorema che mette in relazione le nozioni di integrale e di funzione continua per le funzioni di una variabile reale. Una funzione continua definita su un intervallo ha come immagine ancora un intervallo: il teorema della media integrale stabilisce che la media integrale della funzione sia un valore incluso nell'intervallo immagine.

Indice

Il teoremaModifica

Il concetto di media integrale è una generalizzazione dell'idea di media aritmetica. L'idea è quella di calcolare il valore medio assunto da una funzione   su un intervallo   calcolando la media aritmetica dei valori che la funzione assume su un insieme finito (molto grande) di punti distribuiti uniformemente nell'intervallo, cioè si suddivide l'intervallo in   sottointervalli   tutti di lunghezza   e si calcola la media:

che può essere scritta anche come:

 

Dalla definizione di integrale di Riemann segue che considerando quantità   sempre maggiori di punti questa espressione converge al valore:

 

che viene chiamato media integrale di  .

Il teorema afferma che se   è continua (quindi integrabile) allora esiste   tale che:

 

In modo equivalente:

 

DimostrazioneModifica

Essendo   continua in  , per il teorema di Weierstrass essa è dotata di massimo   e di minimo   su  , quindi si ha:

 

Dalla proprietà di monotonia dell'integrale risulta:

 

Nei membri a destra e a sinistra della disuguaglianza si sta integrando una funzione costante, quindi si ha:

 

e analogamente:

 

Si ottiene quindi:

 

ovvero, se  :

 

Per il teorema dei valori intermedi   deve assumere in   tutti i valori compresi tra:

 

quindi, in particolare, esiste un   tale che:

 

BibliografiaModifica

  • Enrico Giusti, Analisi matematica 1, 3ª ed., Bollati Boringhieri, 2002, ISBN 88-339-5684-9.

Voci correlateModifica